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数学基础：向量

2015-04-02 21:12 288 查看

向量的概念：

向量：


简单理解：具有大小和方向的量称为向量



单位向量：


单位向量是指模等于1的向量。由于是非零向量，单位向量具有确定的方向。

一个非零向量除以它的模（向量长度），可得单位向量：e=



零向量：


长度（模）等于0的向量叫零向量，零向量方向不确定。



向量的基本运算

向量加法：


向量加法满足三角形法则和平行四边形法则：



假设，a=（ ， ），b=( ， )；则：a+b=( + ， + )



交换律： a+b=b+a；

结合律： (a+b)+c=a+(b+c)；

向量减法：





如图所示，两个向量有共同的起点(O)，则两个向量的差是以减向量的终点(B)为始点，被减向量的终点(A)为终点的向量（BA）。或简记为“终点向量减始点向量”






通过上图还可以推断出：“从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量”



假设，a=（ ， ），b=( ， )；则：a-b=( - ， - )

交换律： a+(-b)=a-b

向量的数乘：


设λ是一个数量，向量与λ的乘积规定如下：

1、当λ>0时：向量λ的方向与的方向相同，其模等于||的λ倍，

即：|λ|；

2、当λ=0时：向量λ是零向量，即：λ；

3、当λ<0时：向量λ的方向与的方向相反，其模等于||的|λ|倍，即：|；



向量的正射影：




在轴l上正射影的坐标记作，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角中余弦定义有：



向量的内积（数量积、点积）：




定义：叫做向量a和b的数量积（内积），记作a·b，即：



重要性质：



如果e是单位向量，则：；

a⊥b则a·b=0。且a·b=0则a⊥b；

或 ；

= ；

；



向量与坐标系：

数量积的坐标表达式：


已知 ，。可以推断出：



如果a⊥b，则：





向量的长度公式：


已知，则：



向量的距离公式：


如果、，则：

=

||=



向量的夹角公式：


已知 ，。可以推断出：

=

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