【容斥原理】HDU 4135 Co-prime

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4135

题意：求[a,b]中与n互质的数的个数

ans=sum(b)-sum(a-1)，sum(a)表示[1,a]中与n互质的数的个数

问题转化为求[1,a]中与n互质的数的个数

可求[1,a]中与n不互质的数的个数μ，即[1,a]中n的因数，再用a减去即得sum(a)

算出n的质因数p1,p2,..pk,利用容斥原理可求μ：

$$\begin{split}

 \mu =\sum_{i=1}^{k}\frac{n}{p_i} &- \sum_{1\leq i<j\leq k}\frac{n}{p_ip_j}\\

&+\sum_{1\leq i<j<q\leq k}\frac{n}{p_ip_jp_q}\\

&-\cdots\\

&+{\left( -1\right)}^{k-1}\frac{n}{\prod_{i=1}^{k}{p_i}}

 \end{split}$$

(奇加偶减)

容斥实现（位运算）：  

用二进制来1,0来表示第几个素因子是否被用到,如m=3，三个因子是2,3,5，则i=3时二进制是011，表示第2、3个因子被用到

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAX(a,b) ((a>b)?(a):(b))
#define MIN(a,b) ((a<b)?(a):(b))

#define N 100005
#define INF 1<<30
#define LL __int64

LL cal(LL n,LL r)//计算[1,r]中与n互质的个数
{
/***********************************/
//求所有n的质因数
vector<LL> p;
for(LL i=2;i*i<=n;++i){
if(n%i==0){
p.push_back(i);
while(n%i==0)n/=i;
}
}
if(n>1)
p.push_back(n);
/***********************************/

//容斥原理实现

LL ans=0;
for(LL i=1;i<(1<<p.size());++i){//用二进制来1,0来表示第几个素因子是否被用到,如m=3，三个因子是2,3,5，则i=3时二进制是011，表示第2、3个因子被用到
LL multi=1,cnt=0;//乘积，乘数数量

for(LL j=0;j<p.size();++j){
if(i&(1<<j)){//判断第几个因子目前被用到
cnt++;
multi*=p[j];
}
}
LL cur=r/multi;
if(cnt&1) ans+=cur;//奇加偶减
else      ans-=cur;
}
return r-ans;

}

int main(){
//freopen("C:\\Users\\F\\Desktop\\in.txt", "r", stdin);
//freopen("C:\\Users\\F\\Desktop\\out.txt", "w", stdout);
int t,cas=1;
LL a,b,n;
scanf("%d",&t);
while(t--){
scanf("%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&n);
printf("Case #%d: ",cas++);
printf("%I64d\n",cal(n,b)-cal(n,a-1));
}

return 0;
}