hdu1059 Dividing (多重背包)

题意：将价值分别为1,2,3,4,5,6的6种多个物品平均分两坨

所有物品数量加起来不超过2w个

很容易想到dp的思路，dp[i]表示是否存在使价值为i的选法，dp[i]=dp[i-j] j为物品的价值。然后对所有物品进行这种循环即可，但是会超时，这时候就需要将大量的相同物品二进制分割，具体的原理需要用心去感受，这是背包九讲中的原文：

方法是：将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为 1,2,4,…,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，如果n[i]为13，就将这种 物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。

分成的这几件物品的系数和为n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i种物品。另外这种方法也能保证对于0..n[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示，这个证明可以分0..2^k-1和2^k..n[i]两段来分别讨论得出，并不难，希望你自己思考尝试一下。

这样就将第i种物品分成了O(log n[i])种物品，将原问题转化为了复杂度为O(V*Σlog n[i])的01背包问题，是很大的改进。

下面给出O(log amount)时间处理一件多重背包中物品的过程，其中amount表示物品的数量：

procedure MultiplePack(cost,weight,amount)
if cost*amount>=V
CompletePack(cost,weight)
return
integer k=1
while k<amount
ZeroOnePack(k*cost,k*weight)
amount=amount-k
k=k*2
ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight)

希望你仔细体会这个伪代码，如果不太理解的话，不妨翻译成程序代码以后，单步执行几次，或者头脑加纸>笔模拟一下，也许就会慢慢理解了。

背包的上限空间是总价值/2 ，背完后看看dp[总价值/2]是不是true即可。

贴代码。value开100是因为经过二进制分割之后粗略算一下不会有超过100个物品。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <fstream>
#define NINF INT_MIN
#define ll long long
using namespace std;
//用多重背包的方法，将一坨一样的珠宝变成一个一个不一样的
int value[100];
int total;
int totalvalue;
bool dp[61111];
//dp[i]为true表示存在分出i的价值的方法
int main()
{
int Cases(1);
int n;
cin.sync_with_stdio(false);
int a[7];
while (cin>>a[1]>>a[2]>>a[3]>>a[4]>>a[5]>>a[6],a[1]||a[2]||a[3]||a[4]||a[5]||a[6])
{
cout<<"Collection #"<<Cases++<<":"<<endl;
total=1;
totalvalue=0;
for (int i=1;i<=6;i++)
{
int tmp=a[i];
totalvalue+=tmp*i;
if (!tmp) continue;
for (int k=1;k<tmp;k<<=1)
{
value[total++]=k*i;
tmp-=k;
}
if (tmp)
value[total++]=tmp*i;
}
if (totalvalue&1)
{
cout<<"Can't be divided."<<endl<<endl;
continue;
}
//要求刚好分一半 即背包刚好装满，对于最开始的状态，没有一个物品的情况下除了0空间之外其他都是非法的
memset(dp,0,sizeof(dp));
dp[0]=true;
for (int i=1;i<total;i++)       //i是选择的物品
for (int j=totalvalue/2;j>=value[i];j--)    //j是空间
if (dp[j-value[i]])
dp[j]=true;
if (dp[totalvalue/2])
cout<<"Can be divided."<<endl<<endl;
else
cout<<"Can't be divided."<<endl<<endl;
}
return 0;
}