[BZOJ 3156]防御准备(斜率优化DP)

题目链接

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3156

思路

很容易推出DP方程：

f[i]=min{f[j]+∑k=j+1i(i−k)}+a[i]f[i]=min\{f[j]+\sum_{k=j+1}^i(i-k)\}+a[i]

进一步对该方程变换得到

f[i]=min{f[j]+(i−j−1)(i−j)2}+a[i]f[i]=min\{f[j]+\frac{(i-j-1)(i-j)}2\}+a[i]

设当前DP到f[i],y<x<i且x比y优f[i],y，则

f[x]+(i−x−1)(i−x)2<f[y]+(i−y−1)(i−y)2f[x]+\frac{(i-x-1)(i-x)}{2}

(2f[x]+x2+x)−(2f[y]+y2+y)x−y<2i\frac{(2f[x]+x^2+x)-(2f[y]+y^2+y)}{x-y}<2i

斜率优化搞搞，维护一个斜率单调递增的单调队列就OK了

不过要注意这个题会卡用double表示的斜率，因此要把不等式两边的分母分别移到另一边去，用long long比较大小

代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

#define MAXN 1100000

using namespace std;

typedef long long int LL;

LL f[MAXN],a[MAXN],q[MAXN];

LL fracup(LL x,LL y)
{
//if(x==y) return 1e20;
return (2*f[x]+x*x+x-2*f[y]-y*y-y);
}

LL fracdown(LL x,LL y)
{
return (LL)(x-y);
}

int main()
{
LL n;
scanf("%lld",&n);
for(LL i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
LL h=1,t=1;
q[h]=0;
for(LL i=1;i<=n;i++)
{
while(h<t&&fracup(q[h+1],q[h])<2*i*fracdown(q[h+1],q[h])) h++;
f[i]=f[q[h]]+(((i-q[h]-1)*(i-q[h]))/2)+a[i];
while(h<t&&fracup(q[t],q[t-1])*fracdown(i,q[t])>fracup(i,q[t])*fracdown(q[t],q[t-1])) t--;
q[++t]=i;
}
printf("%lld\n",f
);
return 0;
}