[NOI2010]能量采集（数论+递推）

【题解】

(0,0)到(x,y)的线段经过的点数(不算原点) = gcd(x,y)

枚举所有点对肯定会超时，但是若枚举最大公约数i，范围是1~min(n,m)，只需快速求出有多少点对最大公约数是i即可

递推的思想：

设f[i]：满足gcd(x,y)==i的点对(x,y)个数

显然，f[i]=公约数为i的点对数 -f[i*2] - f[i*3] - …- f[i*n]，(i*n<=min(n,m))

而 公约数为i的点对数 = (n/i)*(m/i)，这样就容易求解了

复杂度：

min(n,m)/1 + min(n,m)/2 + …+ min(n,m)/min(n,m)

= min(n,m)*( 1 + 1/2 + 1/3 +……+ 1/n )

n趋近于+∞时，1 + 1/2 + 1/3 +……+ 1/n = ln(n)+R，R为欧拉常数，约为0.5772

因此不会超时

【代码】

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
typedef long long LL;
LL f[100005]={0};
int min(int a,int b)
{
	if(a<b) return a;
	return b;
}
int main()
{
	LL ans=0;
	int n,m,Max,i,j;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	Max=min(n,m);
	for(i=Max;i>=1;i--)
	{
		f[i]=(LL)(n/i)*(LL)(m/i);
		for(j=i*2;j<=Max;j+=i)
			f[i]-=f[j];
		ans+=f[i]*(LL)i;
	}
	printf("%lld",2*ans-(LL)n*(LL)m);
	return 0;
}