记忆化搜索或区间DP——石子合并

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石子合并（一）

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难度：3

描述 有N堆石子排成一排，每堆石子有一定的数量。现要将N堆石子并成为一堆。合并的过程只能每次将相邻的两堆石子堆成一堆，每次合并花费的代价为这两堆石子的和，经过N-1次合并后成为一堆。求出总的代价最小值。

输入有多组测试数据，输入到文件结束。

每组测试数据第一行有一个整数n，表示有n堆石子。

接下来的一行有n（0< n <200）个数，分别表示这n堆石子的数目，用空格隔开
输出输出总代价的最小值，占单独的一行
样例输入

3
1 2 3
7
13 7 8 16 21 4 18

样例输出

9

思路：区间DP，dp[i][j] 表示合并第i个石子到第j个石子最少需要花费的总代价。

O O O | O O O O

比如最后一次合并是左三个跟右四个合并，那转移方程为：

dp[i][j] = min{dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[i][j]}；

其中 i <= k <= j；sum[i][j] 表示第i个到第j个石子间的总和，其在转移方程的意义是左边跟右边合并需要的代价，因为不管k在哪，左右合并都是需要sum[i][j]的代价。

也可以转化为记忆化搜索来理解；

DP：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define M 210
const int INF = (1<<30);
#define MIN(x, y) ((x)<(y) ? (x):(y))
using namespace std;
int sum[M];
int dp[M][M];

int main()
{
	//freopen("in.txt", "r", stdin);
	int n;
	int i, j, k, len, val;
	while(~scanf("%d", &n))
	{
		memset(sum, 0, sizeof(sum));
		for(i=0; i<M; i++)
			for(j=0; j<M; j++)
				dp[i][j] = INF;
		for(i=1; i<=n; i++){
			scanf("%d", &val);
			sum[i] = sum[i-1] + val;
			dp[i][i] = 0;
		}
		for(len=2; len<=n; len++){
			for(i=1; i+len-1<=n; i++){
				j = i + len - 1;
				for(k=i; k+1<=j; k++){
					dp[i][j] = MIN(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1]);
				}
			}
		}
		printf("%d\n", dp[1]
);
	}
	return 0;
}

记忆化搜索：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define M 210
const int INF = (1<<30);
#define MIN(x, y) ((x)<(y) ? (x):(y))
using namespace std;
int sum[M];
int dp[M][M];

int Dfs(int l, int r)
{
	if(l == r) return 0;
	if(dp[l][r] != INF) return dp[l][r];
	int k, ans = INF;
	for(k=l; k+1<=r; k++)
		ans = MIN(ans, Dfs(l, k) + Dfs(k+1, r) + sum[r] - sum[l-1]);
	dp[l][r] = ans;
	return ans;
}

int main()
{
	//freopen("in.txt", "r", stdin);
	int n;
	int i, j, k, len, val;
	while(~scanf("%d", &n))
	{
		memset(sum, 0, sizeof(sum));
		for(i=1; i<=n; i++)
			for(j=1; j<=n; j++)
				dp[i][j] = INF;
		for(i=1; i<=n; i++){
			scanf("%d", &val);
			sum[i] = sum[i-1] + val;
		}
		printf("%d\n", Dfs(1, n));
	}
	return 0;
}