不要被阶乘吓倒
2015-03-30 15:52
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阶乘(Factorial)是个很有意思的函数,但是不少人都比较怕它,我们来看看两个与阶
乘相关的问题:
1. 给定一个整数N,那么N的阶乘N!末尾有多少个0呢?例如:N=10,N!=3 628 800,
N!的末尾有两个0。
2. 求N!的二进制表示中最低位1的位置。
有些人碰到这样的题目会想:是不是要完整计算出 N!的值?如果溢出怎么办?事实上, 如果我们从“哪些数相乘能得到 10”这个角度来考虑,问题就变得简单了。
首先考虑,如果 N!=K×10M,且 K不能被 10 整除,那么 N!末尾有
M 个 0。再考虑 对 N!进行质因数分解,N!=(2x)×(3y)×(5z)…,由于 10 = 2×5,所以
M 只跟 X 和 Z 相关,每一对2 和 5 相乘可以得到一个 10,于是 M = min(X,
Z)。不难看出X 大于等于Z, 因为能被 2 整除的数出现的频率比能被 5 整除的数高得多,所以把公式简化为M
= Z。
根据上面的分析,只要计算出 Z 的值,就可以得到 N!末尾 0 的个数。
【问题 1 的解法一】
要计算 Z,最直接的方法,就是计算i(i =1, 2, …, N)的因式分解中5 的指数,然后求
和:
代码清单 2-6
ret = 0;
for(i = 1; i <= N; i++)
{
j = i;
while(j % 5 ==0)
{
ret++; j /= 5;
}
}
【问题 1 的解法二】
公式:Z = [N/5] +[N/52] +[N/53] + …(不用担心这会是一个无穷的运算,因为总存在一 个
K,使得 5K > N,[N/5K]=0。)
公式中,[N/5]表示不大于 N 的数中 5 的倍数贡献一个 5,[N/52]表示不大于 N
的数中 52
的倍数再贡献一个 5,……代码如下:
ret = 0; while(N)
{
ret += N / 5; N /= 5;
}
问题 2 要求的是 N!的二进制表示中最低位 1 的位置。给定一个整数 N,求 N!二进制表
示的最低位 1 在第几位?例如:给定 N = 3,N!= 6,那么 N!的二进制表示(1 010)的最低位 1 在第二位。
为了得到更好的解法,首先要对题目进行一下转化。
首先来看一下一个二进制数除以 2 的计算过程和结果是怎样的。 把一个二进制数除以 2,实际过程如下:
判断最后一个二进制位是否为 0,若为 0,则将此二进制数右移一位,即为商值(为什 么);反之,若为1,则说明这个二进制数是奇数,无法被2 整除(这又是为什么)。
所以,这个问题实际上等同于求 N!含有质因数 2 的个数。即答案等于 N!含有质因数
2 的个数加 1。
【问题2 的解法一】
由于 N! 中含有质因数 2 的个数,等于 N/2 + N/4 +N/8+
N/16 + … , 根据上述分析,得到具体算法,如下所示:
代码清单 2-7
int lowestOne(int N)
{
int Ret = 0;while(N)
{
N >>= 1; Ret+= N;
}
return Ret;
}
【问题 2 的解法二】
N!含有质因数 2 的个数,还等于 N减去 N 的二进制表示中 1的数目。我们还可以通过 这个规律来求解。
下面对这个规律进行举例说明,假设 N = 11011,那么 N!中含有质因数 2 的个数为 N/2
+N/4+ N/8 + N/16 + …
即: 1101 + 110 + 11 + 1
=(1000 + 100 + 1)
+(100+ 10)
+(10+ 1)
+1
=(1000 + 100+ 10 + 1)+(100+ 10 + 1)+1
=1111+ 111 + 1
=(10000 -1)+(1000 - 1)+(10-1)+(1-1)
1 这个规律请读者自己证明(提示 N/k,等于 1, 2, 3, …, N 中能被 k
整除的数的个数)。
= 11011-N 二进制表示中 1 的个数
任意一个长度为 m 的二进制数 N 可以表示为 N = b[1] + b[2] * 2 +
b[3] * 22 + … + b[m] *2(m-1),其中 b [
i ]表示此二进制数第 i 位上的数字(1 或 0)。所以,若最低位 b[1]为 1,则说 明 N
为奇数;反之为偶数,将其除以 2,即等于将整个二进制数向低位移一位。
给定整数 n,判断它是否为2 的方幂(解答提示:n>0&&((n&(n-1))==0))。
乘相关的问题:
1. 给定一个整数N,那么N的阶乘N!末尾有多少个0呢?例如:N=10,N!=3 628 800,
N!的末尾有两个0。
2. 求N!的二进制表示中最低位1的位置。
分析与解法
有些人碰到这样的题目会想:是不是要完整计算出 N!的值?如果溢出怎么办?事实上, 如果我们从“哪些数相乘能得到 10”这个角度来考虑,问题就变得简单了。
首先考虑,如果 N!=K×10M,且 K不能被 10 整除,那么 N!末尾有
M 个 0。再考虑 对 N!进行质因数分解,N!=(2x)×(3y)×(5z)…,由于 10 = 2×5,所以
M 只跟 X 和 Z 相关,每一对2 和 5 相乘可以得到一个 10,于是 M = min(X,
Z)。不难看出X 大于等于Z, 因为能被 2 整除的数出现的频率比能被 5 整除的数高得多,所以把公式简化为M
= Z。
根据上面的分析,只要计算出 Z 的值,就可以得到 N!末尾 0 的个数。
【问题 1 的解法一】
要计算 Z,最直接的方法,就是计算i(i =1, 2, …, N)的因式分解中5 的指数,然后求
和:
代码清单 2-6
ret = 0;
for(i = 1; i <= N; i++)
{
j = i;
while(j % 5 ==0)
{
ret++; j /= 5;
}
}
【问题 1 的解法二】
公式:Z = [N/5] +[N/52] +[N/53] + …(不用担心这会是一个无穷的运算,因为总存在一 个
K,使得 5K > N,[N/5K]=0。)
公式中,[N/5]表示不大于 N 的数中 5 的倍数贡献一个 5,[N/52]表示不大于 N
的数中 52
的倍数再贡献一个 5,……代码如下:
ret = 0; while(N)
{
ret += N / 5; N /= 5;
}
问题 2 要求的是 N!的二进制表示中最低位 1 的位置。给定一个整数 N,求 N!二进制表
示的最低位 1 在第几位?例如:给定 N = 3,N!= 6,那么 N!的二进制表示(1 010)的最低位 1 在第二位。
为了得到更好的解法,首先要对题目进行一下转化。
首先来看一下一个二进制数除以 2 的计算过程和结果是怎样的。 把一个二进制数除以 2,实际过程如下:
判断最后一个二进制位是否为 0,若为 0,则将此二进制数右移一位,即为商值(为什 么);反之,若为1,则说明这个二进制数是奇数,无法被2 整除(这又是为什么)。
所以,这个问题实际上等同于求 N!含有质因数 2 的个数。即答案等于 N!含有质因数
2 的个数加 1。
【问题2 的解法一】
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N/16 + … , 根据上述分析,得到具体算法,如下所示:
代码清单 2-7
int lowestOne(int N)
{
int Ret = 0;while(N)
{
N >>= 1; Ret+= N;
}
return Ret;
}
【问题 2 的解法二】
N!含有质因数 2 的个数,还等于 N减去 N 的二进制表示中 1的数目。我们还可以通过 这个规律来求解。
下面对这个规律进行举例说明,假设 N = 11011,那么 N!中含有质因数 2 的个数为 N/2
+N/4+ N/8 + N/16 + …
即: 1101 + 110 + 11 + 1
=(1000 + 100 + 1)
+(100+ 10)
+(10+ 1)
+1
=(1000 + 100+ 10 + 1)+(100+ 10 + 1)+1
=1111+ 111 + 1
=(10000 -1)+(1000 - 1)+(10-1)+(1-1)
1 这个规律请读者自己证明(提示 N/k,等于 1, 2, 3, …, N 中能被 k
整除的数的个数)。
= 11011-N 二进制表示中 1 的个数
小结
任意一个长度为 m 的二进制数 N 可以表示为 N = b[1] + b[2] * 2 +
b[3] * 22 + … + b[m] *2(m-1),其中 b [
i ]表示此二进制数第 i 位上的数字(1 或 0)。所以,若最低位 b[1]为 1,则说 明 N
为奇数;反之为偶数,将其除以 2,即等于将整个二进制数向低位移一位。
相关题目
给定整数 n,判断它是否为2 的方幂(解答提示:n>0&&((n&(n-1))==0))。
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