Codeforces 54C First Digit Law —— 概率DP

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题意： 给定n个位置，对于每一个位置，输入区[l，r]， 要求从区间中选一个数放入对应位置上（每个数被选取的概率相同，为1/(r-l+1)），求这n个位置k%个数开头是1的概率。例如第二组样例中（9,11）符合条件的是10,11。

思路：设p[i]为第i个位置开头为1的数被选中的概率，dp[i][j]表示前i个位置有j个符合数字开头为1的条件。则转移方程为

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] * p[i] + dp[i-1][j]*(1-p[i]);

dp[1][1] = p[1],dp[1][0] = 1 -p[i];

注意边界情况的处理。此外，求任意给定区间以1为开头的数的个数也是一个需要思考的地方。我的方法比较麻烦。后来看别人代码，直接算从1到l-1和从1到r的个数，然后相减，要更简洁一些。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
const double eps = 1e-10;
using namespace std;
const int maxn = 1005;
double dp[maxn][maxn],p[maxn];
typedef long long ll;
ll get_num(ll l, ll r)
{
    ll x= 1,sta,ed,ans = 0;
    while(x<=l) x *= 10;
    sta = max(l,x/10);
    if(x>=r)
    {
       ed = min(x/5-1,r);
       ans = max(ll(0),ed-sta + 1);
       if(x==r) ans++;
       return ans;
    }
    else ans += max(ll(0),(x/5-sta));
    while(x<r)
    {
        if(x*10<=r) ans += x;
        else if(r/x<10)
        {
            if(r/x==1) ans += r-x +1;
            else ans += x;
        }
        x*=10;
    }
    if(x==r) ans++;
    return ans;
}
int main()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    ll n,k,l,r,i,j;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>l>>r;
        p[i]=ll(get_num(l,r))/double(r-l+1);
    }
    cin>>k;
    dp[1][1] = p[1],dp[1][0] = 1-p[1];
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        for(j=0;j<=i;j++)
        {
            dp[i][j] += dp[i-1][j] * (1-p[i]);
            if(j-1>=0)
            {
                dp[i][j] += dp[i-1][j-1]*p[i];
            }
        }
    }
    double tmp= n*k/100.0,ans=0;
    int need = int(tmp);
    if(tmp - int(tmp)>eps) need++;
    for(i=need;i<=n;i++)
    {
        ans += dp
[i];
    }
    cout<<fixed<<setprecision(10)<<ans<<endl;

}

反思总结：以前做这一类题时，往往从排列组合的角度去考虑，做的多了发现，这些题基本上都是靠dp转移方程来做，还没碰到单独用排列组合的题目。单纯排列组合的要求非常严格，情况是非常特殊的，在题目思考不深的情况下，用排列组合往往会想丢一些情况。所以这种题一般要用dp。