[Noi2014]魔法森林 （Link Cut Tree）

Description

为了得到书法大家的真传，小E同学下定决心去拜访住在魔法森林中的隐士。魔法森林可以被看成一个包含个N节点M条边的无向图，节点标号为1..N，边标号为1..M。初始时小E同学在号节点1，隐士则住在号节点N。小E需要通过这一片魔法森林，才能够拜访到隐士。

魔法森林中居住了一些妖怪。每当有人经过一条边的时候，这条边上的妖怪就会对其发起攻击。幸运的是，在号节点住着两种守护精灵：A型守护精灵与B型守护精灵。小E可以借助它们的力量，达到自己的目的。

只要小E带上足够多的守护精灵，妖怪们就不会发起攻击了。具体来说，无向图中的每一条边Ei包含两个权值Ai与Bi。若身上携带的A型守护精灵个数

不少于Ai

，且B型守护精灵个数

不少于Bi

，这条边上的妖怪就不会对通过这条边的人发起攻击。当且仅当通过这片魔法森林的过程中

没有任意一条边

的妖怪向小E发起攻击，他才能成功找到隐士。

由于携带守护精灵是一件非常麻烦的事，小E想要知道，要能够成功拜访到隐士，最少需要携带守护精灵的

总个数

。守护精灵的总个数为A型守护精灵的个数与B型守护精灵的个数之和。

Input

第1行包含两个整数N,M，表示无向图共有N个节点，M条边。 接下来M行，第行包含4个正整数Xi,Yi,Ai,Bi，描述第i条无向边。其中Xi与Yi为该边两个端点的标号，Ai与Bi的含义如题所述。 注意数据中可能包含重边与自环。

Output

输出一行一个整数：如果小E可以成功拜访到隐士，输出小E最少需要携带的守护精灵的总个数；如果无论如何小E都无法拜访到隐士，输出“-1”（不含引号）。

Sample Input

【输入样例1】

4 5

1 2 19 1

2 3 8 12

2 4 12 15

1 3 17 8

3 4 1 17

【输入样例2】

3 1

1 2 1 1

Sample Output

【输出样例1】

32

【样例说明1】

如果小E走路径1→2→4，需要携带19+15=34个守护精灵；

如果小E走路径1→3→4，需要携带17+17=34个守护精灵；

如果小E走路径1→2→3→4，需要携带19+17=36个守护精灵；

如果小E走路径1→3→2→4，需要携带17+15=32个守护精灵。

综上所述，小E最少需要携带32个守护精灵。

【输出样例2】

-1

【样例说明2】

小E无法从1号节点到达3号节点，故输出-1。

HINT

2<=n<=50,000

0<=m<=100,000

1<=ai ,bi<=50,000

题解

把边按a的值由小到大排序

LCT维护边的b值和子树的max值，为什么要维护max下文会说，先说下LCT如何维护边的值：

设边EiE_i连接节点uu, vv，则建立节点i+ni+n，连接(u,i+n)(u,i+n)与(v,i+n)(v,i+n)。

这样节点i+ni+n就可以代表边EiE_i。

设排序好的数组为E[]E[]，依次取出每一条边Ei=(u,v)E_i=(u, v)：

若u,vu,v在不同子树中，则link(u,v)link(u, v)（类似最小生成树，连通性用并查集维护）。

若u,vu,v在同一子树，则连接(u,v)(u, v)后必定存在一条环，找出环上权值最大的边将其删去（这就是维护max的原因）。

每执行完一条边的操作，就判断一下起点和终点是否在一个子树中。如果在同一个子树，则说明此时可以从起点到终点，更新答案。

关键部分代码：

for (int i = 1; i <= m; i++) {
int u = edges[i].u, v = edges[i].v;
if (find(u) != find(v)) { // find和un都是并查集操作
un(u, v);
link(u, n + i);
link(v, n + i);
} else solve(i); // 找到环上最大的边将其删去
if (find(1) == find(n)) ans = min(ans, val[query(1, n)] + edges[i].a);
}

其实想通了还是蛮水的←_←

完整代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <climits>

#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;

const int MAXN = 50005;
const int MAXM = 100005;

int parent[MAXN];
int find(int r) { return (r == parent[r]) ? r : parent[r] = find(parent[r]); }
void un(int p, int q) { parent[find(p)] = find(q); }

int n, m;
struct Edge{
int u, v, a, b;
bool operator < (const Edge & e) const { return a < e.a; }
} edges[MAXM];

int val[MAXN + MAXM], mx[MAXN + MAXM];
int tr[MAXN + MAXM][2];
int fa[MAXN + MAXM];
int q[MAXN + MAXM], top = 0;
bool rev[MAXN + MAXM];
bool isroot(int x) {
return tr[fa[x]][0] != x && tr[fa[x]][1] != x;
}
void pushup(int x) {
int l = tr[x][0], r = tr[x][1];
mx[x] = x;
if (val[mx[l]] > val[mx[x]]) mx[x] = mx[l];
if (val[mx[r]] > val[mx[x]]) mx[x] = mx[r];
}
void pushdown(int x) {
int l = tr[x][0], r = tr[x][1];
if (rev[x]) {
rev[x] ^= 1;
rev[l] ^= 1;
rev[r] ^= 1;
swap(tr[x][0], tr[x][1]);
}
}
void rotate(int x) {
int y = fa[x], z = fa[y];
int l, r;
if (tr[y][0] == x) l = 0;
else l = 1;
r = l ^ 1;
if (!isroot(y)) {
if (tr[z][0] == y) tr[z][0] = x;
else tr[z][1] = x;
}
fa[x] = z;
fa[y] = x;
fa[tr[x][r]] = y;
tr[y][l] = tr[x][r];
tr[x][r] = y;
pushup(y);
pushup(x);
}
void splay(int x) {
top = 0;
q[++top] = x;
for (int i = x; !isroot(i); i = fa[i])
q[++top] = fa[i];
for (int i = top; i >= 1; i--)
pushdown(q[i]);
while (!isroot(x)) {
int y = fa[x], z = fa[y];
if (!isroot(y)) {
if (tr[y][0] == x ^ tr[z][0] == y) rotate(x);
else rotate(y);
}
rotate(x);
}
pushup(x);
}
void access(int x) {
int t = 0;
while (x) {
splay(x);
tr[x][1] = t;
t = x;
x = fa[x];
}
}
void makeroot(int x) {
access(x);
splay(x);
rev[x] ^= 1;
}
void link(int x, int y) {
makeroot(x);
fa[x] = y;
}
void cut(int x, int y) {
makeroot(x);
access(y);
splay(y);
tr[y][0] = fa[x] = 0;
}
int query(int x, int y) {
makeroot(x);
access(y);
splay(y);
return mx[y];
}
void solve(int k) {
int u = edges[k].u, v = edges[k].v, w = edges[k].b;
int t = query(u, v);
if (w < val[t]) {
cut(edges[t - n].u, t);
cut(edges[t - n].v, t);
link(u, k + n);
link(v, k + n);
}
}

int main() {
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++) parent[i] = i;
for (int i = 1; i <= m; i++)
scanf("%d %d %d %d", &edges[i].u, &edges[i].v, &edges[i].a, &edges[i].b);
sort(edges + 1, edges + m + 1);
for (int i = 1; i <= m; i++) {
val[n + i] = edges[i].b;
mx[n + i] = n + i;
}
int ans = INF;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int u = edges[i].u, v = edges[i].v;
if (find(u) != find(v)) {
un(u, v);
link(u, n + i);
link(v, n + i);
} else solve(i);
if (find(1) == find(n)) ans = min(ans, val[query(1, n)] + edges[i].a);
}
if (ans == INF) cout << -1 << endl;
else cout << ans << endl;
return 0;
}