九度OJ1008-最短路径问题 之 dijkstra算法的理解与实现

因为没学过数据结构，所以不好下手

，但我也知道这是数据结构里面的东西，所以，，，还是先来学学理论吧

。看了也写了测试程序，最后总结一下这个算法，当然这只是表面一点的东西，更深一点的，后面慢慢说。

Dijkstra算法

针对单源点的最短路径问题，Dijkstra提出了一种按路径长度递增次序产生最短路径的算法，即迪杰斯特拉(Dijkstra)算法，其思想是：从图的给定源点到其它各个顶点之间客观上应存在一条最短路径，在这组最短路径中，按其长度的递增次序，依次求出到不同顶点的最短路径和路径长度。

简单地说，就是先确定起点，然后搜索余下的点，记录离起点最短的点，然后呢，这个被记录的点就变成了下一次找下一个最近点的“起点”了，当然原来的距离列表就要修改了，因为你起点变了嘛，这里的起点是相对来说的，不是你给出的真正的起点，不断重得这个过程就可以找到所有的最小路径。

因为在最短路径中存在这样的事实：

设起点为 v0，而到达另一个终点 k 的有两种可能：1，v0 直接到 vk

2，v0先到 vj ,vj 到vk,当然中间可能还有更多的中间点，但原理是一样的

这样，如果v0-->vj 是最小的（如果 j == k，那就是第一种情况），那么，从 vj 找到到达vk的最短距离就是v0到vk的最小距离。

这也是这个算法叫按路径长度递增次序产生 最短路径的原因！！！！

算法用到的概念：

1.源点集合S

上面也说过，起点是相对的（这是个人的理解），对应严老师的书本，这些“起点”就组成了源点集合S，所有的点的集合为V。如此一来，每查找一次就会产生一个源点，这些源点要区别于V-S的点（就是还没有被添加到最短径中的点，在这里就是没标志的点，下面解说）

2.始终距离列表 dist[ j ]: 这个数组表示：从源点V0(这个指的是真正的源点)出发，直接到达各个顶点（终点）的距离，如果用邻接矩阵来初始化，那么就类似如下：

dist[ j ] = adj[ v0 ][ j ];

3.源点标记数组 flag[ i ]: 用来记录哪些点已经是“起点”了，这样就不用再查找这些点了，因为这些点间的最短路径已经知道了

4.路径表 pre[ j ]: 记录路径（这里只讨论单路径的情况，即到达同一个终点的最短路径只有一种可能的情况，多种可能的后面再说，实现起来也差不多），这个数组表示：

如 pre[ j ] = m，表示，到达点 j 前要先到达点 m

好了，各个数据结构已经说明。下面是算法流程：

（1）给出起点 v0, 初始化 dist[],flag[],pre[]，三个数组，此时源点集合元素为 S = { v0 };

（2）在 V - S集合中查找离“起点”最近的点vi，并把它放进S中，此时 S = { v0, vi};

这里为什么说是“起点”，因为这个vi就是下一次循环中的起点，为什么这样说，看下面就知道。

（3）修改始终距离列表dist[j]，这个列表如何修改？按下面的原则修改：

遍历每个没有标志的顶点 k ，如果 dist[ vi ] + adj[vi][k] < dist[k],那么就 dist[k] = dist[ vi ] + adj[vi][k] ，这个式子很好理解，不多说。

满足上面条件时，修改路径表：pre[ k ] = vi;就是要到达k，先到达vi

（4）重复（2）（3）共n-1次，n 是顶点数。

算法代码：

用到的一个自定义结构体：

typedef struct Graph
{
unsigned int vexnum;//记录顶点数，对于邻接矩阵，一定是一个方阵，所以行列相同
unsigned char *vexs;//记录顶点信息
int **adj;          //下面注意二维数组的动态生成;
}Graph;

/************************************************************************
* name :       search_short_path_DIJ
* function:    用Dijkstra算法计算无向网G从始点v0到其余各顶点v的最短路径P[v]和其带权长度dist[v]
* parameters:  1 G   图，成员adj邻接矩阵
*              2 v0  指定起点
*              3 dist 始终距离列表
*              4 flag 源集标志列表
*              5 pre 路径表
* return :
************************************************************************/
void search_short_path_DIJ(Graph G, int v0, unsigned int dist[], BOOL flag[], int pre[])
{
int i,j,k,min,index;

// 1 初始化各个数组
for (i = 0; i < G.vexnum; ++i)
{
pre[i]  = v0;
flag[i] = false;
dist[i] = G.adj[v0][i];
}
dist[v0] = 0;
flag[v0] = true;//设置S = { v0 }
// 2
for (i = 0; i < G.vexnum - 1; ++i)
{
min = INFINITE;
index = 0;
for (j = 0; j < G.vexnum; ++j)
{

if (!flag[j] && dist[j] < min)
{
min = dist[j];//记录从v到各个顶点中的最小值
index = j;    //记录当前最小距离顶点
}
}//找到V-S中 dist最小的值的点，下面更新距离列表和路径表

flag[index] = true;//把上面找到最小点加到S集合中
// 3
for (k = 0; k < G.vexnum; ++k)
{
if (!flag[k] && (dist[index] + G.adj[index][k]) < dist[k])//这里变更了起点，变成index，因为从v出发的最短距离是先到index，注意这里查找                                                                               //的点是V-S中的点
{
dist[k] = dist[index] + G.adj[index][k];
pre[k] = index;//即到达k前，先到达index
}
}

}//找到最短路径

}

下面是一个打印路径和返最小短路径的递归函数，因为pre中的点是倒过来找的，所以， 可以用栈去实现路径的打印，当然，可以用递归，在这里，个人用递归来做，因为我不想写一个栈了。。。。。。

打印程序：

/************************************************************************
* name :     print_path_dist
* function:  递归打印最从v0到VX的最短路径，并返回最短距离
* parameter:   1 G   图，成员adj邻接矩阵
*              2 v0  指定起点
*              3 dist 始终距离列表
*              4 vx 终点
*              5 pre 路径表
* return :  distence
************************************************************************/
unsigned int print_path_dist(int v0, int vx, Graph graph, unsigned dist[], int pre[])
{
unsigned int distance = 0;

if (v0 != vx)
{
distance =  print_path_dist(v0,pre[vx], graph, dist, pre);
printf("->%d",vx);
return graph.adj[ pre[vx] ][vx] + distance;
}

else
{
printf("%d",v0);
return 0;
}

}

测试

下面来测试一下这个程序的效果

1.首先是上个路径图和邻接矩阵（这是一个有向图，对于无向图也是一样的，只不过无向图是一个对称矩阵）



2.启动程序，结果如下：



3，好了， 没问题

后面会改进一下这个处理，使它可以输出多个最短路径的情况。好好学习，天天向上！哈哈哈哈哈