UVA11419【输出最小点覆盖】

转自： http://www.matrix67.com/blog/archives/116
二分图最大匹配的König定理及其证明

本文将是这一系列里最短的一篇，因为我只打算把König定理证了，其它的废话一概没有。

以下五个问题我可能会在以后的文章里说，如果你现在很想知道的话，网上去找找答案：

1. 什么是二分图；

2. 什么是二分图的匹配；

3. 什么是匈牙利算法；(http://www.matrix67.com/blog/article.asp?id=41)

4. König定理证到了有什么用；

5. 为什么o上面有两个点。

König定理是一个二分图中很重要的定理，它的意思是，一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。如果你还不知道什么是最小点覆盖，我也在这里说一下：假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边，你需要选择最少的点来覆盖所有的边。比如，下面这个图中的最大匹配和最小点覆盖已分别用蓝色和红色标注。它们都等于3。这个定理相信大多数人都知道，但是网络上给出的证明并不多见。有一些网上常见的“证明”明显是错误的。因此，我在这里写一下这个定理的证明，希望对大家有所帮助。



假如我们已经通过匈牙利算法求出了最大匹配（假设它等于M），下面给出的方法可以告诉我们，选哪M个点可以覆盖所有的边。

匈牙利算法需要我们从右边的某个没有匹配的点，走出一条使得“一条没被匹配、一条已经匹配过，再下一条又没匹配这样交替地出现”的路（交错轨，增广路）。但是，现在我们已经找到了最大匹配，已经不存在这样的路了。换句话说，我们能寻找到很多可能的增广路，但最后都以找不到“终点是还没有匹配过的点”而失败。我们给所有这样的点打上记号：从右边的所有没有匹配过的点出发，按照增广路的“交替出现”的要求可以走到的所有点（最后走出的路径是很多条不完整的增广路）。那么这些点组成了最小覆盖点集：右边所有没有打上记号的点，加上左边已经有记号的点。看图，右图中展示了两条这样的路径，标记了一共6个点（用
“√”表示）。那么，用红色圈起来的三个点就是我们的最小覆盖点集。

首先，为什么这样得到的点集点的个数恰好有M个呢？答案很简单，因为每个点都是某个匹配边的其中一个端点。如果右边的哪个点是没有匹配过的，那么它早就当成起点被标记了；如果左边的哪个点是没有匹配过的，那就走不到它那里去（否则就找到了一条完整的增广路）。而一个匹配边又不可能左端点是标记了的，同时右端点是没标记的（不然的话右边的点就可以经过这条边到达了）。因此，最后我们圈起来的点与匹配边一一对应。

其次，为什么这样得到的点集可以覆盖所有的边呢？答案同样简单。不可能存在某一条边，它的左端点是没有标记的，而右端点是有标记的。原因如下：如果这条边不属于我们的匹配边，那么左端点就可以通过这条边到达（从而得到标记）；如果这条边属于我们的匹配边，那么右端点不可能是一条路径的起点，于是它的标记只能是从这条边的左端点过来的（想想匹配的定义），左端点就应该有标记。

最后，为什么这是最小的点覆盖集呢？这当然是最小的，不可能有比M还小的点覆盖集了，因为要覆盖这M条匹配边至少就需要M个点（再次回到匹配的定义）。

上面证明的思路主要是证明这样选择的点有M个且覆盖了所有边。 模板如下。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 1000 + 5; // 单侧顶点的最大数目

// 二分图最大基数匹配
struct BPM {
int n, m;               // 左右顶点个数
vector<int> G[maxn];    // 邻接表
int left[maxn];         // left[i]为右边第i个点的匹配点编号，-1表示不存在
bool T[maxn];           // T[i]为右边第i个点是否已标记

int right[maxn];        // 求最小覆盖用
bool S[maxn];           // 求最小覆盖用

void init(int n, int m) {
this->n = n;
this->m = m;
for(int i = 0; i < n; i++) G[i].clear();
}

void AddEdge(int u, int v) {
G[u].push_back(v);
}

bool match(int u){
S[u] = true;
for(int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
int v = G[u][i];
if (!T[v]){
T[v] = true;
if (left[v] == -1 || match(left[v])){
left[v] = u;
right[u] = v;
return true;
}
}
}
return false;
}

// 求最大匹配
int solve() {
memset(left, -1, sizeof(left));
memset(right, -1, sizeof(right));
int ans = 0;
for(int u = 0; u < n; u++) { // 从左边结点u开始增广
memset(S, 0, sizeof(S));
memset(T, 0, sizeof(T));
if(match(u)) ans++;
}
return ans;
}

// 求最小覆盖。X和Y为最小覆盖中的点集
int mincover(vector<int>& X, vector<int>& Y) {
int ans = solve();
memset(S, 0, sizeof(S));
memset(T, 0, sizeof(T));
for(int u = 0; u < n; u++)
if(right[u] == -1) match(u); // 从所有X未盖点出发增广
for(int u = 0; u < n; u++)
if(!S[u]) X.push_back(u); // X中的未标记点
for(int v = 0; v < m; v++)
if(T[v]) Y.push_back(v);  // Y中的已标记点
return ans;
}
};

BPM solver;

int R, C, N;

int main(){
int kase = 0;
while(scanf("%d%d%d", &R, &C, &N) == 3 && R && C && N) {
solver.init(R, C);
for(int i = 0; i < N; i++) {
int r, c;
scanf("%d%d", &r, &c); r--; c--;
solver.AddEdge(r, c);
}
vector<int> X, Y;
int ans = solver.mincover(X, Y);//把结果放在X,Y里面
printf("%d", ans);
for(int i = 0; i < X.size(); i++) printf(" r%d", X[i]+1);
for(int i = 0; i < Y.size(); i++) printf(" c%d", Y[i]+1);
printf("\n");
}
return 0;
}