GDOI 3.21 模拟总结

今天跟雅礼联考，结果被虐爆了。。。。

先讲一下题目大意：

第一题：有递推式

X
= a * (X[n - 1])^2 + b * X[n - 1] + c;

现在给定a,b,c,n,m,X[0]，求X
% m;

数据有两部分：

1.min(n,m) <= 10^6

2.n,m<=10^9,2a|b,4ac = b^2 - 2b，m为质数

第二题：在 n 行 m 列的网格中，你要圈一些地。你从左上角出发，最后返回左上角，路径内部的区域视为被      你圈住。你不可以进入网格内部，只能在边上行走。你的路径不能在左上角以外自交，但是边足够      宽，你可以重复经过而不自交。网格中有一些格子对你很重要，你要尽量圈住它；而另一些格子对 
    你有坏处，你不能圈住它。求圈住 i 个重要的格子的最小路径长度。

  n,m<=50,且重要的格子和有坏处的格子的总数不超过10

第三题

   Konrad，Delfador 和 Kalenz 一行人又喜闻乐见地被追杀了。他们面临的是一条有 N 个地点的路，他们从 0 号地点出发，要逃到 N 号地点去。每个地点的战斗都有一定的金币收入 Ai，也有一定的部队损失 Bi。为了更好地逃生，Delfador 还弄到了一块传送宝石，这样一行人就能向后传送不超过 L 的距离。从一个地点传送到另一个地点时，Konrad 会选择路径上除起点外的地形指数
Ci 最大的地点进行战斗，地形指数相同时选择最靠后的。作为优秀的领导者，Konrad 希望总金币收入与总部队损失的比值最大。

N<=30000

做题过程：

一开始看第一题觉得应该是一个水题，对于n<=10^6直接暴力，m<=10^6很显然会有循环节，然后剩下来的部分我一直盯着那两个特殊条件，推了很久的通项一直没有推出来，没有注意到各种各样的形式。

然后去看第二题，一看有闭合的图形，觉得又要用插头DP去做，不会，直接放弃了第二题，做这种题目做的太少，毫无思路。

还有两个多钟，去看第三题，一看就觉得要二分，但很久没有做过分数规划的问题，一开始居然没有想到把式子移项，看了将近半个钟头才发现可以移项，然后就直接Dp+线段树。但我的线段树写的太龊，没有注意常数，而且二分的次数过多，精度设的太大，最后还是T掉了。。。

最后只有第一题的75分和第三题的50分。。。。。。。前面全是雅礼的，而且他们居然第二题全切了。。。。感觉他们实在是太厉害了。。。结果后来知道正解后哭晕在厕所了。。。。。。

题解：

第一题：我们只看2a|b,4ac=b^2-2b这一部分的数据。。。。。

设b=2ak

则：4ac=b^2-2b,c = ak^2-k.

x
= a*x[n-1]^2 + b*x[n-1] + c  -----> x
= a*x[n-1]^2 + 2ak * x[n-1] + ak^2 - k

x
= a * (x[n-1] + k)^2 - k

x
+ k = a * (x[n-1] + k) ^ 2

设p[i] = x
+ k，则 p[i] = a * p[i - 1] ^ 2

则 p
= a^(2^n - 1) * p[0] ^ (2 ^ n);

现在的问题变为如何求a^(2^n - 1) 和 p[0] ^ (2^n)

注意到m为质数，则根据费马小定理，a^(p-1) % p = 1

然后就没有然后了。。。。。

第二题：

注意到自交的话其实是没有什么所谓的，只需要直接走就好了。。。

并且假如在一条较优的路径中，一个点被包含，那么我们做这个点往上延伸的一条射线必然经过
奇数次我们走过的边。

那么我们就可以设一个二进制状态Ｓ，S的每一个位表示我们一个点他上面是有奇数条边还是有
偶数条边。

然后我们直接做一次ＢＦＳ就好了。。。。

第三题：

设我们二分出来的答案为p。真实答案为ans

则若ans >= p,sigma(A[i]) / sigma(B[i]) >= p,sigma(A[i]) >= p * sigma(B[i]),

      sigma(A[i] - p * B[i]) >= 0

设Ｄ[i] = A[i] - p * B[i],F[i] 表示走到i这个点sigma(D[j])最大为F[i]

我们开始Ｄp

我们维护一个关于Ｃ[j] 单调递减的队列Ｑ

则Ｑ[k - 1] ~ Q[k] - 1的点与i的需要战斗的地方就是Ｑ[k]

我们维护一个线段树Ｔ，其中一个单独的节点j维护的是j递推到i的值是多少。

即F[j] + D[j->i战斗的地方]

我们看一下我们对Ｑ进行操作时对Ｔ的影响是什么

假如我们要Pop掉队列尾，设为Ｑ[en]

则Ｑ[en - 1] ~ Q[en] - 1都不受Ｑ[en]限制，则我们给Q[en-1]~Q[en] - 1区间减去D[Q[en]]

假如我们要在队列尾Insert(p)

则Q[en] ~ p - 1都受p限制，我们给Q[en] ~ p - 1区间加上D[p]

最后F[i]就直接在T[1] ~ T[i - 1]取个Max

这题需要一些常数上的优化。。。。。。

考试暴露的问题：

简单题的一些性质没有足够的细心推到出来。

题目的一些特殊条件没有利用好，一些题目不熟练或者说是形成了惯性思维

程序的常数优化没有做好。

GDOI bless !!!!!!!