【扩展KMP】【树状数组优化dp】字符串游戏

tsy：衣服串你会啥？ me：会乱搞！

这题。。我记得当时写了个。。。搜索。。。各种MLE掉了………… = =

正解呢 是扩展KMP+树状数组优化dp。。

先来说扩展KMP怎么写。。。这道题只用对自己跑扩展KMP 所以就只用写一个函数就行了

inline void e_kmp()
{
int j = 0, last = 1;
for(; j < len && s[j] == s[j + 1]; ++j);
p[0] = len; p[1] = j;

for(int i = 2; i < len; ++i)
{
int itmax = p[i - last], already = max(0, last + p[last] - i);
if(itmax < already) p[i] = itmax;
else
{
p[i] = already; last = i;
while(i + p[i] < len && s[i + p[i]] == s[p[i]]) ++p[i];
}
}
}

数组p[i]表示 s[0...j] == s[i...k] 的j的最大值 首先初始化 p[0] 和 p[1] 然后从 p[2] 开始推。。
画个比较丑的图以防我以后忘掉了。。相同颜色的区间表示这两个字串完全相同。。。



last表示( last + p[last] )最大的那个位置 也就是说最远已经匹配到哪里了

然后我们现在要匹配的是i。。假如 itmax < already 那么 i-last可以匹配多少（值就是itmax） i就可以匹配多少 （因为already段是相同的）

如果 itmax >= already 至少可以证明 [i...i+already] 是一定匹配的 那么就从这个地方开始继续尝试匹配

同时可以看出 如果 itmax > already 那么i就会匹配得比之前的last还远 那么i就变成last。。

然后就是dp了。。设 dp[i] 表示把一个空串变成 A[1...i] 需要的最小费用 那么 dp[i] 初值即为 i * x

考虑怎么更新 对于位置 i * 2 如果 p[i] >= i 那么就可以直接复制一遍这个串 dp[i * 2] = min(dp[i * 2], dp[i] + y) 

对于位置 [i+1, i+p[i]] 从i转移是既需要剪裁又需要复制的 令这个位置为k dp[k]  = min(dp[k], dp[i] + y + z)

直接转移是n^2的 我们发现可以用线段树优化 每次更新[i + 1, i + p[i]] 

然后维护区间最值也是可以用树状数组的（网上偷了份代码T_T）

void Init(int n){
for(int i=1;i<=n;i++){
idx[i]=num[i];
for(int j=1;j<Lowbit(i);j<<=1){
idx[i]=MAX(idx[i],idx[i-j]);
}
}
}
int Query(int l,int r){
int ans=num[r];
while(true){
ans=MAX(ans,num[r]);
if(r==l) break;
for(r-=1;r-l>=Lowbit(r);r-=Lowbit(r)){
ans=MAX(ans,idx[r]);
}
}
return ans;
}
void Modify(int p,int v,int n){
num[p]=v;
for(int i=p;i<=n;i+=Lowbit(i)){
idx[i]=v;
for(int j=1;j<Lowbit(i);j<<=1){
idx[i]=MAX(idx[i],idx[i-j]);
}
}
}

但是这题没那么麻烦。。因为对于任何的i 一定是更新 [i+1, x] 由于是从前往后更新 [1, i] 这个区间的值不会再被用到 所以可以直接更新 [1, x] 
然后这题。。。就没了。。。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int Nmax = 2 * 1e5 + 5;

char s[Nmax];
int len, p[Nmax], dp[Nmax];
int x, y, z;

namespace BIT{
int mmin[Nmax];
inline void init(){ memset(mmin, 0x3f, sizeof(mmin)); }
inline int lowbit(int x){ return x & (-x); }

void update(int idx, int w)
{
for(int i = idx; i; i -= lowbit(i))
mmin[i] = min(mmin[i], w);
}
int query(int idx)
{
int res = 0x3f3f3f3f;
for(int i = idx; i <= len; i += lowbit(i))
res = min(res, mmin[i]);
return res;
}
}

inline void e_kmp()
{
int j = 0, last = 1;
for(; j < len && s[j] == s[j + 1]; ++j);
p[0] = len; p[1] = j;

for(int i = 2; i < len; ++i)
{
int itmax = p[i - last], already = max(0, last + p[last] - i);
if(itmax < already) p[i] = itmax;
else
{
p[i] = already; last = i;
while(i + p[i] < len && s[i + p[i]] == s[p[i]]) ++p[i];
}
}
}

int main()
{
freopen("catstring.in", "r", stdin);
freopen("catstring.out", "w", stdout);

ios::sync_with_stdio(false);
cin >> s >> x >> y >> z;
len = strlen(s); e_kmp();
for(int i = 1; i <= len; ++i) dp[i] = i * x;

using namespace BIT; init();
for(int i = 1; i <= len; ++i)
{
dp[i] = min(dp[i], query(i));
int x = min( len, min((i << 1) - 1, i + p[i]) );
update(x, dp[i] + y + z);
if(p[i] >= i) dp[i << 1] = min(dp[i << 1], dp[i] + y);
}

printf("%d\n", dp[len]);

return 0;
}