HDU 4447 Yuanfang, What Do You Think? 多项式分解

题目大意：

就是现在对于给定的多组数据, 对于每组的n (1 <= n <= 1100) 分解多项式 (x^n - 1)

例如 x^2 - 1 = (x-1)(x+1)

x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)

x^4 - 1 = (x-1)(x+1)(x^2+1)

...

输出顺序按照多项式从小到大输出,(多项式大小比较先比较长度, 然后高次项到低次项比较系数的绝对值, 如果绝对值相同则负的较小

大致思路：

这个题是看了官方的题解才知道怎么做的, 首先可以观察规律

用p[i]表示(x^i - 1)分解之后得到的多项式中其独有的一项

那么(x^i - 1)分解之后得到的是P(k1)P(k2)P(k3)...P(kx) * p[i]

其中k1, k2, k3...kx是i的所有约数

例如 p[1] = x - 1, p[2] = x + 1, p[3] = x^2 + x + 1, p[4] = (x^2 + 1), p[5] = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, p[6] = x^2 + x + 1

而x^6 - 1 = p[1]*p[2]*p[3]*p[6]...

所有的多项式(x^i - 1)都可以分解成这样的形式, 恰好是 i 的所有约数对应的这些独有的多项式的乘积

可以参考这篇论文 : http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.121.3592&rep=rep1&type=pdf

那么知道上面这些之后就可以运处理所有的独有的多项式了(直接模拟多项式除法)

因为所有系数都是整数并且可以保证能整除, 所以除法很容易写

左后对于所有分解出来的式子按照题目给的大小进行排序即可, 复杂度O(n*n*logn)

代码如下：

Result  :  Accepted     Memory  :  6524 KB     Time  :  312 ms

/*
* Author: Gatevin
* Created Time:  2015/3/18 13:24:26
* File Name: Kotori_Itsuka.cpp
*/
#include<iostream>
#include<sstream>
#include<fstream>
#include<vector>
#include<list>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#include<bitset>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<iomanip>
using namespace std;
const double eps(1e-8);
typedef long long lint;

#define maxn 1110
vector <int> v[maxn];

struct polynomial
{
int coe[maxn];
int len;
polynomial()
{
memset(coe, 0, sizeof(coe));
len = 1;
}
void output()
{
printf("(");
for(int i = len - 1; i >= 0; i--)
{
if(coe[i] == 0) continue;
if(i == 0)
{
if(coe[i] > 0) printf("+");
printf("%d", coe[i]);
continue;
}
if(coe[i] > 0 && i != len - 1) printf("+");
if(coe[i] == -1) printf("-");
if(abs(coe[i]) != 1) printf("%d", coe[i]);
if(i > 1)
printf("x^%d", i);
else printf("x");
}
printf(")");
return;
}
polynomial operator / (const polynomial pol);
};

polynomial polynomial :: operator / (const polynomial pol)
{
polynomial ret;
ret.len = len - pol.len + 1;
for(int i = len - 1; i >= pol.len - 1; i--)
{
int tim = coe[i] / pol.coe[pol.len - 1];
if(tim != 0)
{
for(int j = 0; j < pol.len; j++)
coe[i - j] -= tim*pol.coe[pol.len - 1 - j];
ret.coe[i - pol.len + 1] = tim;
}
}
return ret;
}

polynomial p[maxn];

bool cmp(int i, int j)//return p[i] < p[j]
{
if(p[i].len != p[j].len) return p[i].len < p[j].len;
for(int k = p[i].len - 1; k >= 0; k--)
if(p[i].coe[k] != p[j].coe[k])
{
if(abs(p[i].coe[k]) == abs(p[j].coe[k]))
return p[i].coe[k] < 0;
else return abs(p[i].coe[k]) < abs(p[j].coe[k]);
}
return false;
}

int main()
{
p[1].coe[0] = -1;
p[1].coe[1] = 1;
p[1].len = 2;//p[i] = (x - 1)
for(int i = 2; i <= 1100; i++)//计算p[2~1100]的特殊多项式
{
p[i].coe[0] = -1;
p[i].coe[i] = 1;
p[i].len = i + 1;
p[i] = p[i]/p[1];
v[i].push_back(1);
for(int j = 2; j*j <= i; j++)
{
if(i % j == 0)
{
p[i] = p[i]/p[j];
v[i].push_back(j);
if(j*j != i) p[i] = p[i]/p[i / j], v[i].push_back(i / j);
}
}
v[i].push_back(i);
}
int n;
while(scanf("%d", &n), n)
{
if(n == 1)
{
printf("x-1\n");
continue;
}
sort(v
.begin(), v
.end(), cmp);
for(int i = 0, sz = v
.size(); i < sz; i++)
p[v
[i]].output();
printf("\n");
}
return 0;
}