组合逻辑设计原理

组合逻辑设计原理

公理

如果X≠1X\neq 1，则X=0X=0；如果X≠0X\neq 0，则X=1X=1

如果X=0X=0，则X′=1X'=1；如果X=1X=1，则X′=0X’=0

0⋅0=00\cdot 0=0；1+1=11+1=1

1⋅1=11\cdot 1=1；0+0=00+0=0

0⋅1=1⋅0=00\cdot 1=1\cdot 0 = 0；1+0=0+1=11+0=0+1=1

单变量定理

X+0=X,X⋅1=XX+0=X,X\cdot 1=X（自等律）

X+1=1,X⋅0=0X+1=1,X\cdot 0=0（0-1律）

X+X=X,X⋅X=XX+X=X,X\cdot X=X（同一律）

(X′)′=X(X')'=X（还原律）

X+X′=1,X⋅X′=0X+X'=1,X\cdot X'=0（0-1律）（互补律）

二变量和三变量定理

X+Y=Y+XX+Y=Y+X,X⋅Y=Y⋅XX\cdot Y=Y\cdot X（交换律）

(X+Y)+Z=X+(Y+Z),(X⋅Y)⋅Z=X⋅(Y⋅Z)(X+Y)+Z=X+(Y+Z),(X\cdot Y)\cdot Z=X\cdot (Y\cdot Z)（结合律）

X⋅Y+X⋅Z=X⋅(Y+Z),(X+Y)⋅(X+Z)=X+(Y⋅Z)X\cdot Y+ X\cdot Z=X\cdot(Y+Z),(X+Y)\cdot(X+Z)=X+(Y\cdot Z)（分配律）

X+X⋅Y=X,X⋅(X+Y)=XX+X\cdot Y=X,X\cdot (X+Y)=X（吸收律）

X⋅Y+X⋅Y′=X,(X+Y)⋅(X+Y′)=XX\cdot Y+X\cdot Y'=X,(X+Y)\cdot(X+Y')=X（组合律）

X⋅Y+X′⋅Z+Y⋅Z=X⋅Y+X′⋅Z,(X+Y)⋅(X′+Z)⋅(Y+Z)=(X+Y)⋅(X′+Z)X\cdot Y+X'\cdot Z+Y\cdot Z=X\cdot Y+X'\cdot Z,(X+Y)\cdot(X'+Z)\cdot(Y+Z)=(X+Y)\cdot(X'+Z)（一致律）

n变量定理

X+X+⋯+X=X,X⋅X⋅⋯⋯X=XX+X+\cdots+X=X,X\cdot X\cdot \,\cdots\,\cdots X=X（广义同一律）

(X1⋅X2⋅⋯⋅Xn)′=X′1+X′2+⋯+X′n,,(X1+X2+⋯+Xn)′=X′1⋅X′2⋅⋯⋅X′n,(X_1\cdot X_2\cdot\,\cdots\,\cdot X_n)'=X_1'+X_2'+\cdots+X_n',,(X_1+X_2+\cdots+ X_n)'=X_1'\cdot X_2'\cdot\,\cdots\,\cdot X_n',（德⋅\cdot摩根律）

F(X1,X2,⋯,Xn)=X1⋅F(1,X2,⋯,Xn)+X′1⋅F(0,X2,⋯,Xn),F(X1,X2,⋯,Xn)=[X1+F(0,X2,⋯,Xn)]⋅[X′1+⋅F(1,X2,⋯,Xn)]F(X_1,X_2,\cdots,X_n)=X_1\cdot F(1,X_2,\cdots,X_n)+X_1'\cdot F(0,X_2,\cdots,X_n),F(X_1,X_2,\cdots,X_n)=[X_1+ F(0,X_2,\cdots,X_n)]\cdot[X_1'+\cdot F(1,X_2,\cdots,X_n)]（香农展开定理）

从群论的观点看

从群论的观点看，{0,1}及其定义的加法运算构成交换群，{0,1}在乘法运算下也构成交换群，是一个F2的域。与一般的域的区别在于其乘法也交换，这就造成了加法与乘法的对称性（即所谓的对偶），也就出现了两个分配律。在开关代数中，加法和乘法的唯一区别似乎就是运算的优先级，除此之外，完全相同；因此所有的定理都有对偶的定理。

从数学角度，这是一个十分简单的域。它的所有定理几乎都可以用完全归纳法列举证明。但是因为它在实际应用中的特殊性，每一条定理都有对应的物理意义甚至器件对应，所以这许多定理在数字逻辑电路的书中都被一一列举出来了。