[家里蹲大学数学杂志]第392期中山大学2015年泛函分析考博试题回忆版

1. ($12'$) 求 $L^p(\bbR)$, $1\leq p<\infty$; $C[0,1]$; $C_0(\bbR)$ 的共轭空间, 其中 $C_0(\bbR)$ 表示在无穷远处的极限为 $0$ 的函数, 且对 $f\in C_0(\bbR)$, $$\bex \sen{f}=\max_{x\in\bbR} |f(x)|. \eex$$ 并说明 $L^p(\bbR)$, $C[0,1]$, $C_0(\bbR)$ 哪些是可分的, 哪些是自反的? (不用证明)

2. ($13'$) 设 $\scrH$ 是 Hilbert 空间, $A\in\scrL(\scrH)$, 且存在 $m>0$ 使得 $$\bex |\sef{Ax,x}|\geq m\sen{x}^2,\quad \forall\ x\in\scrH. \eex$$ 试证: $\exists\ A^{-1}\in\scrL(\scrH)$.

3. ($20'$) 设 $\sed{\mu_n}$ 为有界数列, $\scrX$ 为 Hilbert 空间, $\sed{e_n}$ 为 $\scrX$ 上的标准正交基, $T$ 为 $\scrX$ 上的线性算子, 且 $$\bex \forall\ \sed{c_n}:\ \vsm{n}|c_n|^2<\infty,\ T\sex{\vsm{n}c_ne_n}=\vsm{n}\mu_nc_ne_n. \eex$$

(1). 试证: $T$ 有界, 并求 $\sen{T}$.

(2). $T$ 位紧算子 $\dps{\lra \vlm{n}\mu_n=0}$.

4. ($20'$) 设 $\scrX$ 为 Banach 空间, $f_n,f_0\in X$, 且 $$\bex \vlm{n}\sen{f_n}=\sen{f}. \eex$$ 试证: $\sed{f_n}$ 强收敛于 $f$.

5. ($20'$) 设 $$\bex \int_\bbR f_n(x)\rd x=1,\quad\forall\ n; \eex$$ $$\bex \vlm{n}\int_{|t|>\sigma}f_n(t)\rd t=0,\quad \forall\ \sigma>0. \eex$$ 试证: $$\bex f_n\to \delta,\mbox{ in }\mathcal{D}'(\bbR). \eex$$

6. ($15'$) 设 $\scrX$ 是赋范线性空间, 求证: $\scrX$ 是 Banach 空间的充要条件是 $$\bex \sed{x_n}\subset X:\ \vsm{n}\sen{x_n}<\infty \ra \vsm{n}x_n\mbox{ 收敛}. \eex$$