【BZOJ 2154】 Crash的数字表格
2015-03-13 17:25
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2154: Crash的数字表格
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Description
今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如,LCM(6, 8) = 24。回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下:1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格,Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题:这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时,Crash就束手无策了,因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大,Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。
Input
输入的第一行包含两个正整数,分别表示N和M。Output
输出一个正整数,表示表格中所有数的和mod 20101009的值。Sample Input
4 5Sample Output
122【数据规模和约定】
100%的数据满足N, M ≤ 107。
HINT
Source
数论莫比乌斯反演。
以下来自PoPoQQQ的PPT。
最后的F(x,y)的推法和求gcd(x,y)=1的(x,y)对数差不多,只不过在推导过程中把原来1的地方换成x*y。
那么我们预处理出i^2*u[i]的前缀和,F(x,y)可以在O(sqrt(n))时间内求出来,而ans的式子也可以在O(sqrt(n))中求出来,因此最后的时间复杂度是O(n)的。
#include <iostream> #include <algorithm> #include <cstring> #include <cstdio> #include <cstdlib> #define mod 20101009 #define LL long long #define M 10000000+5 using namespace std; int mu[M],p[1000000],check[M],tot,n,m; LL s[M]; void Getmobius() { mu[1]=1; for (int i=2;i<=n;i++) { if (!check[i]) { p[++tot]=i; mu[i]=-1; } for (int j=1;j<=tot;j++) { if (i*p[j]>n) break; check[i*p[j]]=1; if (i%p[j]==0) { mu[i*p[j]]=0; break; } else mu[i*p[j]]=-mu[i]; } } s[0]=0; for (int i=1;i<=n;i++) s[i]=(s[i-1]+(1LL*mu[i]*i%mod*i%mod))%mod; } LL Sum(LL x,LL y) { x=(x*(x+1)/2)%mod; y=(y*(y+1)/2)%mod; return (x*y%mod); } LL Getf(int x,int y) { int pos; LL ans=0; for (int i=1;i<=x;i=pos+1) { pos=min(x/(x/i),y/(y/i)); ans=(ans+(s[pos]-s[i-1]+mod)%mod*Sum((LL)x/i,(LL)y/i)%mod)%mod; } return ans; } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); if (n>m) swap(n,m); Getmobius(); int pos; LL ans=0; for (int i=1;i<=n;i=pos+1) { pos=min(n/(n/i),m/(m/i)); ans=(ans+1LL*(i+pos)*(pos-i+1)/2%mod*Getf(n/i,m/i)%mod)%mod; } cout<<ans<<endl; return 0; }
感悟:
1.WA都是因为强制转换long long类型出错了。。
谁能告诉我强制转换类型怎么转换QAQ
2.我发现目前做的几道莫比乌斯函数的题目里,用到莫比乌斯函数的地方都是求gcd(x,y)=1的(x,y)对数(x<=n,y<=m)
有两种方法:
一.一种是用到i==1?sigma(u[i])=1:0,详见【BZOJ 1101】
二.第二种是莫比乌斯反演:
这两种方法得到的结果可以互相推过去的,而第二种方法的结果更为普遍适用。
3.莫比乌斯反演的意义在于:
一些情况下直接求f(n)并不好求,而求倍数和或者约数和即F(n)比较容易,那么用下述的莫比乌斯反演可以讲f
和F
快速转化。
1.
(约数和)
2.
(倍数和)
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