【BZOJ 3529】 [Sdoi2014]数表

3529: [Sdoi2014]数表

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Description

有一张N×m的数表，其第i行第j列（1 < =i < =礼，1 < =j < =m）的数值为

能同时整除i和j的所有自然数之和。给定a，计算数表中不大于a的数之和。

Input

输入包含多组数据。

输入的第一行一个整数Q表示测试点内的数据组数，接下来Q行，每行三个整数n，m，a(|a| < =10^9)描述一组数据。

Output

对每组数据，输出一行一个整数，表示答案模2^31的值。

Sample Input

2

4 4 3

10 10 5

Sample Output

20

148

HINT

1 < =N．m < =10^5 ， 1 < =Q < =2×10^4

Source

Round 1 Day 1

莫比乌斯反演+树状数组。

首先求出f[i]表示能整除i的所有自然数之和。

以下来自PoPoQQQ的ppt。（P20）





大概的思路是：

1.先不考虑a的限制：

像【BZOJ 1101】求出g[i]表示：gcd(x,y)=i的(x,y)共有多少对，那么答案就是sigma(g[i]*f[i])

经过变形，最后的式子是：



前面一部分：好多连续的不同的d，n/d和m/d都是不变的，可以一起计算，时间为O(nsqrt(n))

后面一部分：在预处理的时候，枚举i的倍数，加到对应的d中；然后求出前缀和。预处理复杂度O(nsqrt(n))

但是，有了a的限制怎么办？

离线来做：

把询问按照a从小到大排序，f[]也从小到大排序，那么对于一个询问来说，要计算的是f[i]<=a的i。

使用树状数组维护sigma(f[i]*u(d/i))的前缀和，每次插入小于当前a的f[i]（并嵌套上对于d的循环），然后询问前缀和即可。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define M 100000
using namespace std;
pair<int,int> f[M+5];
int t[M+5],p[M],mu[M+5],ans[M+5],check[M+5],T;
struct Q
{
int n,m,a,id;
}q[M];
bool cmp2(Q a,Q b)
{
return a.a<b.a;
}
void Getmobius()
{
mu[1]=1;
int tot=0;
for (int i=2;i<=M;i++)
{
if (!check[i])
{
p[++tot]=i;
mu[i]=-1;
}
for (int j=1;j<=tot;j++)
{
if (i*p[j]>M) break;
check[i*p[j]]=1;
if (i%p[j]==0)
{
mu[i*p[j]]=0;
break;
}
else mu[i*p[j]]=-mu[i];
}
}
}
void Getf()
{
for (int i=1;i<=M;i++)
for (int j=i;j<=M;j+=i)
f[j].first+=i;
for (int i=1;i<=M;i++)
f[i].second=i;
sort(f+1,f+1+M);
}
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
void Update(int x,int k)
{
for (int i=x;i<=M;i+=lowbit(i))
t[i]+=k;
}
int Getsum(int x)
{
int ans=0;
for (int i=x;i;i-=lowbit(i))
ans+=t[i];
return ans;
}
int Query(int n,int m)
{
int ans=0,pos;
if (n>m) swap(n,m);
for (int i=1;i<=n;i=pos+1)
{
pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
ans+=(n/i)*(m/i)*(Getsum(pos)-Getsum(i-1));
}
return ans&0x7fffffff;
}
int main()
{
Getmobius();
Getf();
scanf("%d",&T);
for (int i=1;i<=T;i++)
scanf("%d%d%d",&q[i].n,&q[i].m,&q[i].a),q[i].id=i;
sort(q+1,q+1+T,cmp2);
int j,i;
for (i=1,j=1;i<=T;i++)
{
for (;j<=M&&f[j].first<=q[i].a;j++)
for (int k=f[j].second;k<=M;k+=f[j].second)
Update(k,f[j].first*mu[k/f[j].second]);
ans[q[i].id]=Query(q[i].n,q[i].m);
}
for (int i=1;i<=T;i++)
printf("%d\n",ans[i]);
return 0;
}

感悟：

莫比乌斯函数在使用时，要对sigma套sigma进行变形：如果后一个sigma中的某一个数与这个sigma的循环变量无关，那么可以提到前面去