欧拉函数 因子分解 TOJ 2918 LCM Revisited---
2015-03-11 15:33
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题意
给出一个整数N (0<N<231) , 然后求出在 1-N 之间的数M 满足与N 的最小公倍数 N<LCM(M,N)<M∗N , 求满足条件的m的个数。思路
范围比较大, 直接 求的话,肯定会超时,反向来求,只需要求出不满足条件的个数,然后用N减,即可。 很显然, 有下面两类数不满足条件:1. 与N 互质
2. 是N的因子
接下来分别求出这两类即可。
与N互质
求比N小的与N互质的个数,可以想到用 欧拉函数。在数论,对正整数n,欧拉函数 φ(n)是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。
φ(n)=n∗p1−1p1∗p2−1p2∗…∗pn−1pn, 其中 pi 是N 的质因子。这里包含 1
一般求解欧拉函数的代码:
int eular(int n) { int eul=n; for(int i=2; i*i<=n; i++)//数字比较大,i*i 超范围,可以long long { if(n%i==0) { eul=eul/i*(i-1); //计算欧拉函数,这里i 就是质因子了 while(n%i==0)n/=i; } } if(n>1) eul=elu/n*(n-1); return eul; }
求N的因子的个数
求因子个数可以用下面的公式:设 N=pa11∗pa22∗…∗pann, 则N的因子个数:
f(N)=(a1+1)∗(a2+1)∗…∗(an+1)
其中pi 是 N 的质因子。
ok,到这里两部分都已经解决了, 不过如果两个都分开求,很不幸的–TLE,
通过观察可以知道, 在用欧拉函数求互质个数,以及求N 的因子个数的时候,我们都用到了 N 的质因子。 因此我们可以考虑,提前将N
的质因子打表保存,供两个调用。而N 的上限是 231 , 最大的质因子不会超过 N−−√ 即:65536,这个复杂度还可以接受。
另外: 再求N 的质因子个的时候,还需要求出每个质因子的次数。详见代码:
代码
/*Accepted 2918 C++ 0.8K 0'00.04" */ #include <stdio.h> //pr标记素数, p存贮质因子,num存储质因子次数。 int pr[65540],p[300],num[300],k,n; void prim()//将65536以内的素数,打表存储 { pr[0]=pr[1]=pr[2]=0; for(int i=2;i<=65536;i++) if(pr[i]==0) { for(int j=i+i;j<=65536;j+=i) pr[j]=1; } } void factor(int n) { k=0; for(long long i=2;i*i<=n;i++)// 这里必须是longlong 否则i*i 超int { if(!pr[i]&&n%i==0) {//质因子 num[k]=0; while(n%i==0) num[k]++,n/=i; p[k++]=i;//存储质因子 } } if(n>1) { p[k]=n; num[k++]=1; } } int res() { int res=n,sum=1; for(int i=0;i<k;i++){ res=res/p[i]*(p[i]-1);// 欧拉函数 sum*=(num[i]+1); // 求因子个数 } return res+sum; } int main() { prim(); while(scanf("%d",&n)&&n) { factor(n); printf("%d\n",n-res()+1);// 因为两个重复包含了1, 因此需要+1 } }
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