当我真正理解了扩展欧几里得定理

首先、扩展欧几里得定理：对于两个不全为0的整数a、b，必存在一组解x,y，使得ax+by==gcd(a,b);

void exgcd(long long  a, long long b, long long & d, long long& x, long long& y)  
{  
    if (!b)  
    {  
        d = a;  
        x = 1;  
        y = 0;  
    }  
    else  
    {  
        exgcd(b,a%b,d,y,x);  
        y -= x *(a/b);  
    }  
}

我个人觉得第一次看到这个程序你会有以上两个不明白的地方（见注释），下面我分别解释

不明处1：由扩展欧几里得定理：ax+by==gcd(a,b)---式1，而此时b==0，也就是说gcd(a,0)==a。原式变为ax+by==a --> x==1,y==0。应该够清楚了吧

不明处2：这里先说明一下我的一些规则，x,y表示第一次递归时的值，x1,y1表示第二次递归时的值。那么

gcd(a,b)==gcd(b,a%b)，同时都代入式1，有ax+by==b*x1+(a%b)*y1。将右边变形一下

b*x1+(a%b)*y1==b*x1+(a-(a/b)*b)*y1==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)，最终得到ax+by==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)

也就是说，上一深度的x等于下一深度的y1，上一深度的y等于下一深度的x1-(a/b)*y1。 需要注意，上面推导时用的除法都是整型除法



到这里为止，我们便得到了不定式ax+by==gcd(a,b)的一组解，x、y。

那么对于一般的不定式ax+by==c，它的解应该是什么呢。很简单，x1=x*(c/gcd(a,b)),y1=y*(c/gcd(a,b))。很好理解吧~



再深入一点，就解出这么一组解其实一般来说是解决不了什么问题的。没有哪个ACM的题这么简单吧。。。比如我们现在要得到所有的解，那么这所有的解究竟是什么呢？

直接说吧,假设d=gcd(a,b). 那么x=x0+b/d*t; y=y0-a/d*t;其中t为任意常整数。

这个是怎么推导出来的，说实话我也不知道，就先这么记着吧！



好了，说了这么多，光说不练也无济于事

先做一个最简单的题目，pku 1061青蛙的约会

先说一下大概题意：有两只青蛙，一只在坐标x，另一直在坐标y，青蛙x一次跳跃可以前进m单位距离，青蛙y一次跳跃可以前进n单位的距离，两青蛙都在同一纬度，该纬度长度为L。两只青蛙同方向同时跳啊跳，问你最少跳多少次，它们才可以相遇，如果不能相遇，输出impossble



分析：假设跳了T次以后，青蛙1的坐标便是x+m*T,青蛙2的坐标为y+n*T。它们能够相遇的情况为（x+m*T）-(y+n*T)==P*L，其中P为某一个整数，变形一下

得到(n-m)*T+P*L==x-y 我们设a=(n-m),b=L,c=x-y,T=x,P=y.于是便得到ax+by==c。激动啊，这不就是上面一样的式子吗~

直接套用扩展欧几里得函数，得到一组解x,y。由于问题是问最少跳多少次，于是只有x是我们需要的信息。那么再想，x是最小的吗？

答案是可能不是！那么如何得到最小解呢？ 我们考虑x的所有解的式子： x=x0+b/d*t。x0是我们刚刚求到的，很显然右边是有个单调函数，当t为某一个与x正负性质相反的数时，可以得到最小的x。 令x的正负性质为正，那么x=x0-b/d*t1 (t1==-t)。令x==0，那么t=x0*d/b，最小的x等于x0减去t*b/d。这里得到的x可能是负数，如果是负数，我们再为它加上一个b/d即是所求答案了！

#include<iostream>
#include<string>
#include<cmath>
#include<algorithm>
usingnamespace std;

__int64 x,y,a,b,c,d;
__int64 n,m,X,Y,L;

__int64 gcd(__int64 a,__int64 b)
{
    __int64 t,d;
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    d=gcd(b,a%b);
    t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;
    return d;
}

int main()
{
    while(scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&X,&Y,&m,&n,&L)==5)
    {
        a=n-m;
        b=L;
        c=X-Y;
        d=gcd(a,b);
        if(c%d!=0)
        {
            printf("Impossible\n");
            continue;
        }
        x=x*(c/d);
        y=y*(c/d);

        /*通解：
        x1=x+b/d*t;
        y1=y-a/d*t;
        t为任意整数
        */
        //找最小的x1，即求x+b/d*t最小，那么只有t为某一个数时才最小
        //显然t必须与x正负相反才有最小，那么就看做x-b/d*t,这个式子的最小值便是t=x/(b/d)时，注意这是整型除法
        __int64 k=x*d/b;
        k=x-k*b/d;
        if(k<0)
            k+=b/d;
        printf("%I64d\n",k);
    }
    return0;
}

转自：http://www.cnblogs.com/ka200812/archive/2011/09/02/2164404.html