zoj 3772 Calculate the Function（矩阵+线段树）

开始以为是数学递推找规律，尝试了以后发现这条路走不通。

考虑到既有加又有乘，可能就是我们熟悉的矩阵。然后想试着用逆矩阵的形式求解，发现会出现a[x] 为分母的情况。所以最后使用线段树来求解区间的矩阵乘积。

根据题目可以知道：Fx = a[x]，F(x+1) = a[x+1] 这两个是直接有的，不需要矩阵，从第三个开始，其实就是在前两个的基础上乘上了一个矩阵：

F(x+2) = F(x+1) + Fx*a[x+2] 可以处理为：矩阵（Fx，F(x+1)） *  矩阵 （（0，a[x+2]），（1，1) ) = 矩阵（F(x+1)，F(x+2)）后面的F（x+2）就是我们要求的。

这样，我们可以先把原式中的区间矩阵求乘积先预处理好，用线段树刚好能够满足要求。

只是这边的线段树节点不是简单的一个数，而是一个矩阵。我用结构体表示。

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define maxn 500000
#define MOD 1000000007
struct node
{
long long a,b,c,d;
} sum[maxn];
long long number[200000];
long long cnt;
node f(node x,node y)
{
node tem;
tem.a = x.a*y.a+x.b*y.c;
tem.b = x.a*y.b+x.b*y.d;
tem.c = x.c*y.a+x.d*y.c;
tem.d = x.c*y.b+x.d*y.d;
tem.a %= MOD;
tem.b %= MOD;
tem.c %= MOD;
tem.d %= MOD;
return tem;
}
void pushup(int rt)
{
sum[rt] = f(sum[rt<<1],sum[rt<<1|1]);
}
void build(int l,int r,int rt)
{
if(l==r)
{
scanf("%lld",&number[++cnt]);
number[cnt] %= MOD;
sum[rt].a=0;
sum[rt].b=number[cnt];
sum[rt].c=1;
sum[rt].d=1;
return;
}
int m = (l+r)>>1;
build(lson);
build(rson);
pushup(rt);
}
node query(int l,int r,int rt,int L,int R)
{
if(L<=l&&r<=R)
{
return sum[rt];
}
int m = (l+r)>>1;
if(m>=R)
{
return query(lson,L,R);
}
else if(m<L)
{
return query(rson,L,R);
}
else
{
return f(query(lson,L,m),query(rson,m+1,R));
}
}
int main()
{
int T,n,m,i,j,k,l,r;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
cnt=0;
build(1,n,1);
for(i=0; i<m; i++)
{
scanf("%d%d",&l,&r);
if(r<l+2)printf("%lld\n",number[r]);
else
{
node tmp = query(1,n,1,l+2,r);
long long ans =((number[l]*tmp.b)%MOD+(number[l+1]*tmp.d)%MOD)%MOD;
printf("%lld\n",ans);
}
}
}
return 0;
}