SGU 105 Div 3

1,12,123,1234,……,12345678910,…… 这样一个序列。求前N个元素中能被3整除的个数。

一个数其各个位上的数之和能被3整除，则该数能被3整除。

可以发现该序列中的元素各个位上数之和除以3的余数依次为1001001001001……

不看第一个数，则以001构成循环。

由此有了下面的解法。

#include<stdio.h>
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
        printf("%d\n",(n-1)/3*2+(n-1)%3);
    return 0;
}

其实这题的正解应该是这样的：

首先，我们知道一个数能被3整除的充要条件是该数各个位上的数之和能被3整除。

观察序列，可以发现第i个数，设其各个位上之和为s[i]，则s[i]≡i*(i+1)/2 mod 3

这是因为：

比如n=12时，序列为123456789101112，各个位上之和为s[12]=1+2+3+4+……+9+(1+0)+(1+1)+(1+2)。

其中(1+0)≡10 mod 3，(1+1)≡11 mod 3，(1+2)≡12 mod 3。

于是根据同余定理，有：s[12]≡1+2+……+10+11+12 mod 3



故s[i]=i*(i+1)/2 mod 3

于是第n项整除3相当于n(n+1)/2整除3



再看n(n+1)/2 % 3，n从1开始，其余数以1,0,0循环