POJ-3734（DP + 矩阵求幂）

题目：http://poj.org/problem?id=3734

刚开始看到题目N<10^9吓蒙了都，看了discuss才明白，还是对DP理解的太浅呢。。。

分析：我们更多的关心红色和绿色的情况，限制条件是两者个数都是偶数，但子问题却可能出现两者一奇一偶、一偶一奇、两奇的情况，假设已经给n个块染色，且出现这4种情况的场面分别有{a, b, c, d}个，给第n+1个块染色之后可能构成的场面和数量分别为{m, n, p, q}，我们来看两者是不是有一定的关系：

1、如果给第n+1个块染红色，则两偶 -> 一奇一偶；一奇一偶 -> 两偶；一偶一奇 -> 两奇；两奇 -> 一偶一奇。

2、如果给第n+1个块染绿色，则两偶 -> 一偶一奇；一奇一偶 -> 两奇；一偶一奇 -> 两偶；两奇 -> 一奇一偶。

3、如果给第n+1个块染黄色，则两偶 -> 两偶；一奇一偶 -> 一奇一偶；一偶一奇 -> 一偶一奇；两奇 -> 两奇。

4、如果给第n+1个块染蓝色，则两偶 -> 两偶；一奇一偶 -> 一奇一偶；一偶一奇 -> 一偶一奇；两奇 -> 两奇。

所以状态n+1的数量可以从状态n的数量中推出来，具体而言，{m, n, p, q}和{a, b, c, d}之间的关系就是：

m = b + c + a + a = 2a + b + c

n = a + d + b + b = a + 2b + d

p = d + a + c + c = a + 2c + d

q = c + b + d + d = b + c + 2d

有点fibonacci的感觉我们有，f[n+1] = f
* m，其中m是递推矩阵, m = [[2, 1, 1, 0], [1, 2, 0, 1], [1, 0, 2, 1], [0, 1, 1, 2]]，初始条件f[1] = [2, 1, 1, 0]，即

1、第一格染黄色或蓝色 => 两偶（都是0），有2种情况

2、第一格染红色 => 一奇一偶（红1绿0），有1种情况

3、第一格染绿色 => 一偶一奇（红0绿1），有1种情况

4、第一格不可能让红和绿都是奇数

从而f
= f[1] * m ^ (n-1)，用矩阵快速幂可以达到O(logn)复杂度。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define MOD	10007

const int transfer[][4] = {{2, 1, 1, 0}, {1, 2, 0, 1}, {1, 0, 2, 1}, {0, 1, 1, 2}};
struct Matrix{
int a[4][4];
Matrix operator * (const Matrix& m)const{
Matrix t;
int i, j, k, s;
for(i = 0; i < 4; ++i){
for(j = 0; j < 4; ++j){
for(s = k = 0; k < 4; ++k) s = (s + a[i][k] * m.a[k][j]) % MOD;
t.a[i][j] = s;
}
}
return t;
}
};
Matrix power(const Matrix& matrix, int n)
{
if(n == 1) return matrix;

Matrix tmp = power(matrix, n >> 1);
if(n & 1) return tmp * tmp * matrix;
return tmp * tmp;
}

int main()
{
int t, n;
Matrix matrix, result;
memcpy(matrix.a, transfer, sizeof(matrix.a));
for(scanf("%d", &t); t--; ){
scanf("%d", &n);
if(n == 1){
puts("2");
continue;
}
result = power(matrix, n-1);
printf("%d\n", (result.a[0][0]*2 + result.a[1][0] + result.a[2][0]) % MOD);
}
return 0;
}