[BZOJ 1069][SCOI 2007]最大土地面积(凸包+旋转卡壳)
2015-03-05 15:57
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题目链接
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1069思路
计算几何的题真心不好做啊。。。显然最大的四边形的四个点肯定是在凸包上的,因此第一步就是用Graham算法把凸包求出来,这个很简单就不罗嗦了。
然后就是旋转卡壳了,很多人的题解里都说了是枚举四边形的一条对角线,然后卡出对角线两边的那两个点,更新面积最大值,复杂度是O(n2)O(n^2)。刚开始我很奇怪,为什么这样做复杂度是O(n2)O(n^2)的?不应该是枚举对角线的O(n2)∗卡壳的O(n)=O(n3)枚举对角线的O(n^2)*卡壳的O(n)=O(n^3)吗?大概是之前写这个题题解的都比较神犇,并没有讲这个题的实现细节。实际上只是枚举了对角线的一个端点ii,而另一个点p2p_2是按照凸包的点的逆时针顺序有序枚举的,这就和普通的旋转卡壳非常相似,在这同时,还要顺便维护对角线两边的两个点p1,p3p_1,p_3,显然最终的答案就是SΔip1p2+SΔip2p3S_{Δip_1p_2}+S_{Δip_2p_3},那么现在相当于是两个三角形的公共边ip2ip_2固定了,让两个三角形各自的面积都最大,显然这两个三角形的面积都是单峰函数,那么现在这个题做法就和旋转卡壳求最远点对的方法非常相近了,即确定下来i、p2i、p_2的位置后,利用单峰函数的特性,用两个while循环快速得到两个三角形各自的面积的最大值。这样做复杂度就成了O(n2)O(n^2)了(PS:这个O(n2)O(n^2)应该是有个比较大的常数,就是两个while循环,不过此题nn比较小没关系)
代码
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> #include <algorithm> #include <cmath> #define MAXN 2500 #define EPS 1e-7 using namespace std; int n; double ans=0; inline int dcmp(double x) { if(fabs(x)<EPS) return 0; if(x>EPS) return 1; return -1; } struct Point { double x,y; Point(){} Point(double _x,double _y):x(_x),y(_y){} void read() { scanf("%lf%lf",&x,&y); } }points[MAXN],stack[MAXN<<1],o; //o是原点 int top=0; bool cmp(Point a,Point b) { if(!dcmp(a.x-b.x)) return a.y<b.y; return a.x<b.x; } Point operator-(Point a,Point b) { return Point(a.x-b.x,a.y-b.y); } double cross(Point a,Point b,Point c) //a->b 叉积 a->c { return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(c.x-a.x)*(b.y-a.y); } double Cross(Point a,Point b,Point c,Point d) //求向量a->b叉积向量c->d { return cross(o,b-a,d-c); } void Graham() //Graham求凸包 { sort(points+1,points+n+1,cmp); top=0; for(int i=1;i<=n;i++) //维护下凸壳 { while(top>=2&&dcmp(cross(stack[top-1],stack[top],points[i]))<=0) top--; stack[++top]=points[i]; } int tmp=top; for(int i=n-1;i>=1;i--) //维护上凸壳 { while(top>=tmp+1&&dcmp(cross(stack[top-1],stack[top],points[i]))<=0) top--; stack[++top]=points[i]; } } void rotcalip() //旋转卡壳求最远点对 { for(int i=1;i<top;i++) stack[top+i-1]=stack[i]; //将栈中元素复制一遍,stack[top]==stack[1],因此不要保留下stack[top] for(int i=1;i<top;i++) //枚举对角线的一个端点i { int p1=i+1; //p2是对角线的另一个端点,p2、p3是不在对角线上的两个顶点 int p2=p1+1; int p3=p2+1; for(;p2<i+top-1;p2++) //i和p2两个点做卡壳 { while(1) //先卡出最大三角形i-p2-p1,这个三角形面积是个单峰函数,因此可以一遍while找出来使得面积最大的点p1 { if(dcmp(Cross(stack[i],stack[p2],stack[p1],stack[p1+1]))>=0) break; //!!!!! else p1++; } while(1) //再卡出最大三角形i-p2-p3,这个三角形面积是个单峰函数,因此可以一遍while找出来使得面积最大的点p3 { if(dcmp(Cross(stack[p2],stack[i],stack[p3],stack[p3+1]))>=0) break; //!!!! else p3++; if(p3>=i+top-1) break; //不能爆范围 } if(p3>=i+top-1) break; ans=max(ans,(fabs(cross(stack[i],stack[p1],stack[p2]))+fabs(cross(stack[i],stack[p2],stack[p3])))/2); } } } int main() { scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) points[i].read(); Graham(); rotcalip(); printf("%.3lf\n",ans); return 0; }
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