[BZOJ 1056][NOI 2009]管道取珠(DP)

题目链接

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1566

思路

设上面的珠子序列是U，下面的是L，定义一个取珠子的操作序列的状态(i,j)表示上面的U取了i个，下面的L取了j个。那么∑a2i=\sum a_i^2=对于两个不同的操作序列X、YX、Y，它们最后取出的珠子序列是一样的，这样的有序对(X,Y)(X,Y)的个数。证明如下：

假如最终取出的珠子序列为AA，它对应的操作序列个数为|Z||Z|,也就是说ai=|Z|2a_i=|Z|^2，那么根据分步计数原理，上面说的(X,Y)(X,Y)的对数显然等于|Z|2|Z|^2，也就是ai=|Z|2a_i=|Z|^2，得证。

那么这个(X,Y)(X,Y)的对数也很好求。用f[i1][j1][i2][j2]f[i_1][j_1][i_2][j_2]来表示操作序列XX的状态为(i1,j1)(i_1,j_1),操作序列YY的状态为(i2,j2)(i_2,j_2)，并且当前X、YX、Y操作完以后取出来的珠子序列仍然是一样的(X,Y)(X,Y)方案数(就是按照上面说的来的)。DP方程也很好推，当前状态转移到下一状态后，两个操作序列各自增加的那个新柱子的颜色必须相同，DP方程如下。



以上图片转自https://www.byvoid.com/blog/noi-2009-ball/

最后的那个j2j_2下标完全可以从前三个下标推出来，因此DP方程和DP过程都是三维的复杂度。

后记：

虽然这个题并不难，但是我WA了十多次，具体有很多细节需要注意：

1、输入了U、TU、T序列后，记得把它们翻转一下，因为我们定义的输入的珠子序列，出口处的柱子在下标1的位置。

2、注意最后一个下标j2j_2是从前三个下标推出来的，要判断j2j_2是否合法。

代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

#define MAXN 505
#define MOD 1024523

using namespace std;

int n,m;
//注：状态(i,j)表示上面的U取了i个，下面的L取了j个
int f[MAXN][MAXN][MAXN]; //f[i1][j1][i2][j2]=X方法当前状态为(i1,j1)，Y方法当前状态为(i2,j2)，这样的有序对(X,Y)个数,j2=i1+j1-i2,因此j2状态可以略去
char U[MAXN],L[MAXN];

int add(int x,int y)
{
x+=y;
if(x>MOD) x-=MOD;
return x; //!!!!
}

int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
scanf("%s+1",U+1); //!!!!
scanf("%s+1",L+1); //!!!!
reverse(U+1,U+n+1); //!!!!
reverse(L+1,L+m+1); //!!!!
f[0][0][0]=1;
for(int i=0;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=m;j++)
for(int k=0;k<=n;k++)
{
int tmp=f[i][j][k],l=i+j-k; //X状态为(i,j),Y状态为(k,l)
if(!tmp||l<0||l>m) continue;
if(U[i+1]==U[k+1])
f[i+1][j][k+1]=add(f[i+1][j][k+1],tmp);
if(U[i+1]==L[l+1])
f[i+1][j][k]=add(f[i+1][j][k],tmp);
if(L[j+1]==U[k+1])
f[i][j+1][k+1]=add(f[i][j+1][k+1],tmp);
if(L[j+1]==L[l+1])
f[i][j+1][k]=add(f[i][j+1][k],tmp);
}
printf("%d\n",f
[m]
);
return 0;
}