BZOJ 1036 [zjoi 2008] 数的统计 （树链剖分）

题目链接：BZOJ 1036

这两天学了一下树链剖分，先来谈一谈我对树链剖分的理解吧~

首先，树链剖分用于解决询问一棵树上两节点间的路径的情况（比如问节点u，v的路径中最大点权，最大边权，点权和等等。）对于这类问题，我们直接暴力求解会TLE时，就可以考虑用树链剖分。树链剖分的大体思路是将一棵树剖分成一些链，对于每条链用数据结构来维护，所有的链也用数据结构来维护（不同的题，选择的数据结构也不同），这样我们就可以把复杂度降为O(log N)。

将树剖分成链用轻重边路径剖分。几个概念：1.重边：对于节点u，v为u的儿子节点中子树节点数最大的点，那么边（u，v）即为重边。 轻边：相对的，非重边即为轻边。 2.重链：全由重边构成的链。 3.从根节点到任意一个节点u的路径经过的轻边不超过超过log N 条，经过的重路径不超过log N 条。

树链剖分的一般过程：1.pre_dfs：递归找出所有的重边。  2.dfs：找出所有的重链。 3.将每条链用数据结构维护。

查询的过程：如查找节点u和v之间的路径的情况：1.若u和v在同一条链上，那么直接根据维护这条链的数据结构查询即可。 2.若u和v在不同的链上，将u和v向一条重链上靠。具体实现，找出u和v所在重链的链首的深度较小的那一个，在这条链上求出当前的值，再将链首元素变为它的父亲节点。每次重复这样的操作，直到u和v在同一条链上，这样就变成了第一种情况。

对于这道题，先进行树链剖分，将每一个点重新标号，并用线段树这个数据结构来维护即可。

贴上我的跑的有点慢的代码（在BZOJ上都排到了500多名= =）。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
#define maxn (30000+5)
int n,cnt=0;
int head[maxn],V[maxn],size[maxn],f[maxn],hv[maxn],dep[maxn],anc[maxn],tid[maxn];
struct node{int next,v;}e[2*maxn];
struct tree{
int l,r,w,sum,max;
}t[4*maxn];

void update(int x){
t[x].max=max(t[x<<1].max,t[x<<1|1].max);
t[x].sum=t[x<<1].sum+t[x<<1|1].sum;
}

void build(int u,int l,int r){
t[u].l=l; t[u].r=r;
if(l==r)return ;
int mid=(l+r)>>1;
build(u<<1,l,mid); build(u<<1|1,mid+1,r);
}

void change(int x,int pos,int v){
if(t[x].l==t[x].r&&t[x].l==pos){
t[x].w=v; t[x].max=v; t[x].sum=v;
return ;
}
int mid=(t[x].l+t[x].r)>>1;
if(pos<=mid)change(x<<1,pos,v);
if(pos> mid)change(x<<1|1,pos,v);
update(x);
}

int get_max(int x,int l,int r){
if(t[x].l>=l&&t[x].r<=r)return t[x].max;
int mid=(t[x].l+t[x].r)>>1;
int ans=-1e7;
if(l<=mid)ans=max(ans,get_max(x<<1,l,r));
if(r> mid)ans=max(ans,get_max(x<<1|1,l,r));
return ans;
}

int get_sum(int x,int l,int r){
if(t[x].l>=l&&t[x].r<=r)return t[x].sum;
int mid=(t[x].l+t[x].r)>>1;
int ans=0;
if(l<=mid)ans+=get_sum(x<<1,l,r);
if(r> mid)ans+=get_sum(x<<1|1,l,r);
return ans;
}

int k=1;
void adde(int u,int v){
e[k].v=v; e[k].next=head[u]; head[u]=k++;
}

void pre_dfs(int u,int fa,int dis){
size[u]=1; f[u]=fa; dep[u]=dis; hv[u]=-1;
int temp=0;
for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next){
int v=e[i].v;
if(v==fa)continue;
pre_dfs(v,u,dis+1);
size[u]+=size[v];
if(size[v]>temp){
temp=size[v]; hv[u]=v;
}
}
}

void dfs(int u,int last){
tid[u]=++cnt; anc[u]=last;
if(hv[u]!=-1)dfs(hv[u],last);
for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next){
int v=e[i].v;
if(v==f[u]||v==hv[u])continue;
dfs(v,v);
}
}

int get_ans(int u,int v,int col){
int ans;
if(col==1)ans=-1e7; else ans=0;
int fu=anc[u],fv=anc[v];
while(fu!=fv){
if(dep[fu]>dep[fv]){
swap(u,v); swap(fu,fv);
}
if(col==1)ans=max(ans,get_max(1,tid[fv],tid[v]));
else ans+=get_sum(1,tid[fv],tid[v]);
v=f[fv]; fv=anc[v];
}
if(dep[u]>dep[v])swap(u,v);
if(col==1)return max(ans,get_max(1,tid[u],tid[v]));
else return ans+get_sum(1,tid[u],tid[v]);
}

int main(){
memset(head,-1,sizeof(head));
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<n;i++){
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
adde(a,b); adde(b,a);
}
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&V[i]);
pre_dfs(1,-1,0);
dfs(1,1);
build(1,1,n);
for(int i=1;i<=n;i++)change(1,tid[i],V[i]);
int q; char s[10];
scanf("%d",&q);
while(q--){
scanf("%s",s);
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
if(s[0]=='C')change(1,tid[u],v);
else if(s[1]=='M')printf("%d\n",get_ans(u,v,1));
else printf("%d\n",get_ans(u,v,2));
}
return 0;
}