证明两个集合的划分最小绝对值差问题

总的 解空间的大小 是

C(2n, n)/2 = 2n!/(n!*n!)/2

从2n个元素中取出n个元素的组合数目， 又由于对称性 , 所以除以2

例如： 1234 ---》 取出两个元素的组合： 12 13 14 23 24 34

分成两个集合的可能性是： (12, 34), (13, 24), (14, 23)

生成组合的程序：

n = 4
p = range(0, n)
def get(seq, k):
m = len(seq)
print m, k
if k == 0:
return [[]]
if m < k:
return []
res = []
for i in get(seq[1:], k-1):
res.append([seq[0]]+i)
res += get(seq[1:], k)
return res
r = get(p, n/2)
print r

当n=1 时候:唯一的解

当n=2时候： 可以元素按照 从小到大排序, a1 <= a2 <= a3<= a4

那么最优解决是： (a1,a4 ) (a2,a3)

证明如下：

(a1, a2) (a3, a4) 组合 的差值的绝对值最大， 因为对于任意的 2n个元素中取出n个元素，头n个元素之和最小， 最后n个元素之和最大， 差值绝对值自然最大

又有如下

(a1, a3), (a2, a4) |a1-a2+a3-a4| = |a1-a2|+|a3-a4| >= |a1+a4-(a2+a3)|

所以(a1,a4), (a2,a3) 组合解最优

证明n=3 的情况的约束条件