[BZOJ 2727][HNOI 2012]双十字(树状数组+计数问题)

题目链接

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2727

思路

这个题好难啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊，花了我半天的时间去研究vfk和ydc的题解才算大概搞懂

因为题目描述非常坑爹，竟然没有说R、CR、C各自的范围，只是说了R∗CR*C的大小，因此我们只能开个1e6的一维数组，把二维的东西都压到一维里，这个比较好实现(以下用array[i,j]来表示二维数组array[i][j]在一维数组array[x]里)。

首先预处理出L[i,j]、R[i,j]、down[i,j]L[i,j]、R[i,j]、down[i,j]，它们分别表示(i,j)(i,j)格子向左方向延伸、向右方向延伸、向下方向延伸的连续的’1’格子的最大长度。

然后求出C[i,j]=min{L[i,j],R[i,j]}C[i,j]=min\{L[i,j],R[i,j]\}，表示以(i,j)(i,j)为中心(横线与竖线的交点)向左右延伸的最大值(的一半)。

接着我们遍历棋盘中的每个格子(i,j)(i,j)(先遍历列j，再遍历行i)，并时刻维护一个值toptop，表示当前连续的’1’的顶端的行标，并维护一个像栈一样的神奇数据结构q[]以及它的栈顶指针tailq[]以及它的栈顶指针tail，保存的是当前的竖线的点。

以上各种乱七八糟的东西如下图所示：



考虑假设我们已知点i,ji,j在同一列，且j在ij在i上面，并且已知C[i]、C[j]C[i]、C[j]，能构成多少个不同的双十字。

下面是上面的那个01矩阵中的几个不同的合法的双十字



那么我们看怎么来求这个方案数。。。

假设我们已经知道了下面的横线长度lenilen_i，然后再求方案数，这个比较显然是方案数delta=leni∗min{leni−1,C[j]}∗(top−j)∗down[i]delta=len_i*min\{len_i-1,C[j]\}*(top-j)*down[i]

然后下面的横线长度实际上不是固定的，那么我们需要枚举它，最终的方案数delta=∑C[i]len=1len∗min{len−1,C[j]}∗(top−j)∗down[i]delta=\sum_{len=1}^{C[i]}{len*min\{len-1,C[j]\}*(top-j)*down[i]}

恩，这时候我们离成功已经非常接近了。。。

看到那个minmin确实非常恶心，我们可以通过分类讨论把minmin拆掉

把上面的式子改一改：

1. C[i]<=C[j],delta=∑C[i]len=1len∗(len−1)∗(top−j)∗down[i]C[i]<=C[j],delta=\sum_{len=1}^{C[i]}{len*(len-1)*(top-j)*down[i]}

2. C[i]>C[j],delta=∑C[i]len=1len∗C[j]∗(top−j)∗down[i]C[i]>C[j],delta=\sum_{len=1}^{C[i]}{len*C[j]*(top-j)*down[i]}

就是个数列求和嘛，(2)是有求和公式的：

2. C[i]>C[j],delta=∑C[i]len=1len∗(len−1)∗(top−j)∗down[i]C[i]>C[j],delta=\sum_{len=1}^{C[i]}{len*(len-1)*(top-j)*down[i]}

delta=∑C[i]len=1(len2−len)∗(top−j)∗down[i]delta=\sum_{len=1}^{C[i]}{(len^2-len)*(top-j)*down[i]}

delta=(∑C[i]len=1len2delta=(\sum_{len=1}^{C[i]}{len^2}−∑C[i]len=1len)(top−j)down[i]- \sum_{len=1}^{C[i]}{len})(top-j)down[i]

代码

代码是扒的ydc的，因为开了内联，所以跑起来比ydc的标程快几百ms

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

#define MAXN 2000100
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
#define MOD 1000000009

using namespace std;

typedef long long int LL;

int n,m,tot; //tot=0的总数
LL bit1[MAXN],bit2[MAXN],bit3[MAXN];
LL ans;
bool map[MAXN];
int L[MAXN],R[MAXN],C[MAXN]; //L[i,j]=(i,j)的左边有多少个连续的1，R[i,j]=(i,j)的右边有多少个连续的1,(i,j)是0的话，L[i,j]=R[i,j]=-1,C[i,j]=min{L[i,j],R[i,j]}
int down[MAXN]; //down[i,j]=(i,j)下面有多少个连续的1，(i,j)为0时down[i,j]=-1;
int q[MAXN]; //类似于栈的神奇的东西。。。

void add(LL sum[],int pos,LL val) //在树状数组sum[]的pos位置加上值val
{
while(pos<=m)
{
sum[pos]=(sum[pos]+val)%MOD;
pos+=lowbit(pos);
}
}

LL query(LL sum[],int pos) //查询树状数组sum[]的前pos位置和
{
LL ans=0;
while(pos>0)
{
ans=(ans+sum[pos])%MOD;
pos-=lowbit(pos);
}
return ans;
}

inline int calc(int x,int y) //二维下标(x,y)对应的一位下标
{
return (x-1)*m+y;
}

void prework()
{
//预处理L、R、C数组
for(int i=1;i<=n;i++) //枚举第i行
{
if(map[calc(i,1)]) L[calc(i,1)]=-1; else L[calc(i,1)]=0; //预处理L[i,1]
if(map[calc(i,m)]) R[calc(i,m)]=-1; else R[calc(i,m)]=0; //预处理R[i,m]
for(int j=2;j<=m;j++)
{
if(map[calc(i,j)]) L[calc(i,j)]=-1;
else L[calc(i,j)]=L[calc(i,j-1)]+1;
}
for(int j=m-1;j>=1;j--)
{
if(map[calc(i,j)]) R[calc(i,j)]=-1;
else R[calc(i,j)]=R[calc(i,j+1)]+1;
}
for(int j=m;j>=1;j--) //?????
C[calc(i,j)]=min(L[calc(i,j)],R[calc(i,j)]);
}
//预处理down数组
for(int j=1;j<=m;j++) //枚举列j
{
if(map[calc(n,j)]) down[calc(n,j)]=-1; else down[calc(n,j)]=0; //初始化第j列最下面一行(第n行)的值
for(int i=n-1;i>=1;i--)
{
if(map[calc(i,j)]) down[calc(i,j)]=-1;
else down[calc(i,j)]=down[calc(i+1,j)]+1;
}
}
}

void clear(int &top,int &tail) //暴力清零
{
top=-1;
tail=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
bit1[i]=bit2[i]=bit3[i]=0;
}

void solve() //计数求出答案
{
int top=-1,tail=0; //top是从当前格子开始向上延伸的最高点行标,tail是数组q的栈顶指针
for(int j=1;j<=m;j++) //枚举列j
{
clear(top,tail);
for(int i=1;i<=n;i++) //枚举行i
{
int now=calc(i,j); //now=当前的点在一维数组中的下标
if(map[now]) clear(top,tail); //now是个0，那么和上面1~i-1行的图形连不起来,将top置为-1,tail和数组q置为0
else if(top==-1) top=i; //top为-1，而当前格子为'1'，那么top=当前格子高度
else if(C[now]!=0) //now可以构成一条横线，而且它上面有格子当竖线
{
LL sum1=query(bit1,C[now])*C[now]%MOD;
LL sum2=query(bit2,C[now]);
LL sum3=C[now]*(C[now]-1)/2%MOD*(query(bit3,m)-query(bit3,C[now]))%MOD; //sum3是利用了补集转化的思想
LL t=(sum1-sum2+sum3+MOD)%MOD;
ans=(ans+t*down[now])%MOD;
if(q[tail]==calc(i-1,j))
{
int tmp=q[tail],h=(tmp-1)/m+1; //h是now的行标
add(bit1,C[tmp],C[tmp]*(h-top)%MOD);
add(bit2,C[tmp],C[tmp]*(C[tmp]+1)/2%MOD*(h-top)%MOD);
add(bit3,C[tmp],h-top);
}
q[++tail]=now; //将点now入队
continue;
}
if(tail&&q[tail]==calc(i-1,j))
{
int tmp=q[tail],h=(tmp-1)/m+1; //h是now的行标
add(bit1,C[tmp],C[tmp]*(h-top)%MOD);
add(bit2,C[tmp],C[tmp]*(C[tmp]+1)/2%MOD*(h-top)%MOD);
add(bit3,C[tmp],h-top);
}
}
}
}

int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&tot);
for(int i=1;i<=tot;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
map[calc(x,y)]=true;
}
prework();
solve();
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}