BZOJ系列1406《[AHOI2007]密码箱》题解

Description

在一次偶然的情况下，小可可得到了一个密码箱，听说里面藏着一份古代流传下来的藏宝图，只要能破解密码就能打开箱子，而箱子背面刻着的古代图标，就是对密码的提示。经过艰苦的破译，小可可发现，这些图标表示一个数以及这个数与密码的关系。假设这个数是n，密码为x，那么可以得到如下表述： 密码x大于等于0，且小于n，而x的平方除以n，得到的余数为1。 小可可知道满足上述条件的x可能不止一个，所以一定要把所有满足条件的x计算出来，密码肯定就在其中。计算的过程是很艰苦的，你能否编写一个程序来帮助小可可呢？（题中ｘ，ｎ均为正整数）

Input

输入文件只有一行，且只有一个数字n(1<=n<=2,000,000,000)。

Output

你的程序需要找到所有满足前面所描述条件的x，如果不存在这样的x，你的程序只需输出一行“None”(引号不输出)，否则请按照从小到大的顺序输出这些x，每行一个数。

Sample Input

12

Sample Output

1

5

7

11

分析：神题！！！

原式：x^2modN=1；

需要转换：x^2=k*N+1 ==> x^2-1=k*N ==> (x+1)(x-1)=k*N；

所以：N | (x-1)(x+1)；

所以存在N=a*b，使得 a | (x-1) 且 b | (x+1)  或者是 a | (x+1) 且 b | (x-1)。

设a<b，枚举a:1~sqrt(N)，得出b:b=N/a；

再枚举两种情况的x，验证是否x+1或x-1满足条件，满足一个即可。

set判重！

注意无解时输出：None！

代码如下：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll N,P,sum=0,b;
set<ll> ans;
void work()
{
scanf("%lld",&N);
P=ll(sqrt(1.0*N));
for(ll a=1;a<=P;a++)
if(N%a==0)
{
b=N/a;
for(ll x=1;x<=N;x+=b)
if((x+1)%a==0) ans.insert(x);
for(ll x=b-1;x<=N;x+=b)
if((x-1)%a==0) ans.insert(x);
}
if(ans.empty()) printf("None\n");
else
{
while(!ans.empty())
{
printf("%lld\n",*ans.begin());
ans.erase(ans.begin());
}
}
}
int main()
{
//freopen("a.in","r",stdin);
work();
return 0;
}