约瑟夫问题及变形：poj 1012

约瑟夫问题是个有名的问题：N个人围成一圈，从第一个开始报数，第M个将被杀掉，最后剩下一个，其余人都将被杀掉。例如N=6，M=5，被杀掉的顺序是：5，4，6，2，3，1。

给定N个人和m,计算最后获救者的编号，求解的思路是一种递推思想。

我们知道第一个人（编号一定是（m-1） mod n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m mod n的人开始）：

k k+1 k+2 … n-2,n-1,0,1,2,… k-2，并且从k开始报0。

我们把他们的编号做一下转换：

k –> 0

k+1 –> 1

k+2 –> 2

…

…

k-2 –> n-2

变换后就完完全全成为了（n-1）个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x’=(x+k) mod n

如何知道（n-1）个人报数的问题的解？对，只要知道（n-2）个人的解就行了。（n-2）个人的解呢？当然是先求（n-3）的情况 —- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f

递推公式

f[1]=0;

f=(f+m) mod i; (i>1）

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f
。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f
+1

由于是逐级递推，不需要保存每个f，程序也是异常简单：







约瑟夫环变形 先引入Joseph递推公式，设有n个人（0,…,n-1），数m，则第i轮出局的人为

f(i)=(f(i-1)+m-1)%(n-i+1)；

f(0)=0;

f(i) 表示当前子序列中要退出的那个人（当前序列编号为0~(n-i));

拿个例子说：K=4,M=30;

f(0)=0;

f(1)=(f(0)+30-1)%8=5; 序列（0,1,2,3,4,5,6,7）中的5

f(2)=(f(1)+30-1)%7=6; 序列（0,1,2,3,4,6,7）中的7

f(3)=(f(2)+30-1)%6=5; 序列（0,1,2,3,4,6）中的6

f(4)=(f(3)+30-1)%5=4; 序列（0,1,2,3,4）中的4

……..

依据题意，前K个退出的人必定是后K个人，所以只要前k轮中只要有一次f(i)小于k则此m不符合题意。

参考文章：

ζёСяêτ - 小優YoU

http://blog.csdn.net/lyy289065406/article/details/6648444

书山有路，学海无涯

http://www.cnblogs.com/yu-chao/archive/2011/05/29/2062276.html

百度百科

http://baike.baidu.com/link?url=6uSi0WGzW2m4jOUpLJJ_GusbojECXU0DZQV1utfQSdQ9hpqJxPwAt1EWjU4iepdrVJt7m2nnqdqPFaJUvax0K_#3

根据这样的思路，求解poj 1012就很容易了。



先打表预处理，把每一个k的结果存储在Joseph[k]中，输出，避免超时。

参考代码+部分注释：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <climits>
#define eps 1e-8
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF=INT_MAX;
const int maxn = 110;
int k,ans[20],Joseph[20];
void init()
{
for(int k=1;k<=14;k++){
int m=1,n=2*k;
while(1){
bool ok=true;
ans[0]=0;
for(int i=1;i<=k;i++){
ans[i]=(ans[i-1]+m-1)%(n+1-i);//递推
if(ans[i]<k) {ok=false;break;}//不满足条件就标记
}
if(ok) break;
m++;
}
Joseph[k]=m;
}
}
int main()
{
// freopen("input.txt","r",stdin);
init();
while(cin>>k&&k){
cout<<Joseph[k]<<endl;
}
return 0;
}