POJ 1201 Intervals(差分约束基础)

题意：

。。。

思路：

差分约束的知识详见《算法导论》24.4 “差分约束和最短路径”

1)变量：

用s[i]表示[0, i]中数的个数，特别的，s[-1] = 0

设最大的区间端点是maxnum，那么总共有maxnum+2个变量(也就是图上的节点)，s[-1],s[0]…s[maxnum]。

2)隐含的约束：

1>=s[i]−s[i−1]>=01>=s[i]-s[i-1]>=0

3)不等式

对于一个约束(a, b, c), 有 s[b]−s[a−1]>=cs[b]-s[a-1]>=c

满足最长路的三角不等式，所以可以用最长路求解。

4)判断负环

虽然此题不存在无解的情况，但判负环还是必要的。。。

PS:

其实题目中还有一个隐含约束s[i]>=0, 所以可以把d[i]初始化为0，然后将所有节点一开始全部放入队列。。算导24.4.7中讨论了消去虚拟节点的方法（到所有节点的边权值为0），就是用0取代inf来初始化。

struct Edge{
int nxt, cost, to;
Edge ():nxt(0) {}
Edge(int x, int y, int z):nxt(x), cost(y), to(z){}
};

int h[Maxn+5], d[Maxn+5], used[Maxn+5], cnt[Maxn+5], tot, n, mxx;
Edge E[Maxn*4];

void add_edge(int from, int to, int cost) {
//debug
//printf("add_edge: from %d to %d cost %d\n", from, to, cost);
E[tot] = Edge(h[from], cost, to);
h[from] = tot++;
}

int go() {
fill(d, d+mxx+1, -inf);
memset(used, 0, sizeof(used));
memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
queue<int> q;
q.push(0);d[0] = 0;used[0] = 1;
while (!q.empty()) {
int fr=q.front();q.pop();
used[fr] = 0;
// debug
//printf("pick %d\n", fr);
for (int i=h[fr];i;) {
Edge &e = E[i];
if (d[fr]+e.cost > d[e.to]) {
// debug
//printf("upd %d from %d to %d\n", e.to, d[e.to], d[fr]+e.cost);
if (!used[e.to]) {
// debug
//printf("pb %d\n", e.to);
q.push(e.to);
used[e.to]=1;
}
d[e.to] = d[fr]+e.cost;
if (++cnt[e.to] >= mxx+1) return 0;
}
i = e.nxt;
}
}
return 1;
}

int solve() {
assert(go());
return d[mxx];
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("input.in", "r", stdin);
#endif
SPEED_UP
cin >> n;
memset(h, 0, sizeof(h));
mxx = 0, tot = 1;
int aa, bb, cc;
rep(i, 1, n) {
cin >> aa >> bb >> cc;
add_edge(aa, bb+1, cc);
mxx = max (mxx, bb+1);
}

rep(i, 0, mxx-1) add_edge(i, i+1, 0);
rep(i, 1, mxx) add_edge(i, i-1, -1);

cout << solve() << endl;

return 0;
}