康托展开
2015-02-18 14:25
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康托展开是一个全排列到一个自然数的双射,常用于构建哈希表时的空间压缩。 康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序,因此是可逆的。
全排列: 1,2,3三个数的全排列:
1,2,3
1,3,2
2,1,3
2,3,1
3,1,2
3,2,1
总共 3! = 6种。
但是我们用一些数或数组来表示当前排列的顺序时,往往是用的 3^3 = 9 的存储空间,当不同的数数量较多的时候,空间浪费会非常大,所以,我们需要康托展开。
举例:
3 5 7 4 1 2 9 6 8 展开为 98884。(实际为第98885个)
因为X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884
思路:
我们从上面例子的可以看出,第一个数是3,他后面有8个数,比3小的有2个,说明以三开头的第一个排列前面有2*8!个,类似的,5这个数字,之前的3*7!,所以可以打出代码:
康托展开的逆运算
康托展开是一个双射,那么,自然就存在逆运算,举个例子:
如n=5,x=96时:
首先用96-1得到95,说明x之前有95个排列.(将此数本身减去!)
用95去除4! 得到3余23,说明有3个数比第1位小,所以第一位是4.
用23去除3! 得到3余5,说明有3个数比第2位小,所以是4,但是4已出现过,因此是5.
用5去除2!得到2余1,类似地,这一位是3.
用1去除1!得到1余0,这一位是2.
最后一位只能是1.
所以这个数是45321.
(来自维基百科)
代码如下:
参考资料:康托展开 - 维基百科
全排列: 1,2,3三个数的全排列:
1,2,3
1,3,2
2,1,3
2,3,1
3,1,2
3,2,1
总共 3! = 6种。
但是我们用一些数或数组来表示当前排列的顺序时,往往是用的 3^3 = 9 的存储空间,当不同的数数量较多的时候,空间浪费会非常大,所以,我们需要康托展开。
举例:
3 5 7 4 1 2 9 6 8 展开为 98884。(实际为第98885个)
因为X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884
思路:
我们从上面例子的可以看出,第一个数是3,他后面有8个数,比3小的有2个,说明以三开头的第一个排列前面有2*8!个,类似的,5这个数字,之前的3*7!,所以可以打出代码:
int factor[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880}; //各数的阶乘…… int cantor(){ int sum=0; for(int i=0;i<n;i++) { int cnt=0; for(int j=i+1;j<n;j++) if(tmp[j]<tmp[i]) //tmp数组表示排列 cnt++; sum+=cnt*factor[n-i-1]; } return sum+1; }
康托展开的逆运算
康托展开是一个双射,那么,自然就存在逆运算,举个例子:
如n=5,x=96时:
首先用96-1得到95,说明x之前有95个排列.(将此数本身减去!)
用95去除4! 得到3余23,说明有3个数比第1位小,所以第一位是4.
用23去除3! 得到3余5,说明有3个数比第2位小,所以是4,但是4已出现过,因此是5.
用5去除2!得到2余1,类似地,这一位是3.
用1去除1!得到1余0,这一位是2.
最后一位只能是1.
所以这个数是45321.
(来自维基百科)
代码如下:
void inv_cantor(int num) { num--; memset(v,0,sizeof(v)); for(int i=0;i<n;i++) { int index=num/factor[n-i-1],j=1; for(j=1;j<=n;j++) if(!v[j]) { if(!index) break; index--; } tmp[i]=j,v[j]=1; num%=factor[n-i-1]; } }
参考资料:康托展开 - 维基百科
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