《算法导论》笔记（12） 基本的图算法，最小生成树

首先是图的表示。G=(V, E)，两种标准表示方法。一是邻接链表，一是邻接矩阵。邻接链表有|V|条链表，链表Adj[u]包含所有与结点u有边关联的结点v。邻接矩阵是|V|*|V|的二维矩阵，aij可用来表示结点i与j之间有无边或边的权重。

广度优先搜素。从源结点出发向外扩展，访问当前结点的全部相连结点并一一入队列，然后将队列中最前结点出列以相同方法访问其子结点，直到所有结点都被访问。访问过程中作两种标记来控制路线，已访问全部子结点的结点标为visited，已访问自身但未访问完其全部子结点的结点标为visiting。s到v的最短距离为v.d，v.d=u.d+1。树边，前驱子图，广度优先树。

BFS(G, s){
u=s; mark u as visited; u.d=0; queue.push(u);
while(u){
for each v in G.Adj[u]{
if(v not visited && v not visiting) {v.d= u.d + 1; v.p=u; queue.push(v); mark v as visiting; }
}
mark u as visited;
u=queue.pop();
}
}

深度优先搜索。探索最近发现的结点的边，若无未访问结点，则回溯其前驱结点继续搜索。直到所有结点都访问完全。访问过程中作两种标记来控制路线，已访问全部子结点的结点标为visited，已访问自身但未访问完其全部子结点的结点标为visiting。time来标记结点第一次访问的时间u.d与最后完成全部子结点访问的时间u.f。括号化定理，白色路径定理。树边，后向边，前向边，横向边。深度优先森林。

DFS(G){
for each u in G{
if(u not visited && u has no prev_node) visit(u);
}
}
visit(u){
time++;    //注意，time作为全局变量，如果多线程同时搜索不同分支的子树，则有同步的问题
mark u as visiting; u.d=time;
for each v in G.Adj[u]{
if(v not visited && v not visiting) {v.p=u; visit(v); }
}
time++;
mark u as visited; u.f=time;
}

拓扑排序。有向无环图的所有结点排成线性序列，任意边的起点排在终点之前。方法是在深度优先搜索时，每当结点完成visited则加入一个链表。

强连通分量。集合内任意两个点，路径(u, v)与(v, u)同时存在，则称为一个强连通分量。寻找强连通分量的算法是运行两次深度优先搜索，第二次是转置图G(V, E' )即所有边方向逆转后的深度优先搜索，并且按照第一次搜索后各结点f值最大值开始搜索。两次搜索完成后形成的深度优先森林是各最大连通分量。证明算法的正确性：假设有结点u与连通分量C，若u.f>C.f，只有两种可能：1，图(V, E)中有路径u->C，此时若在转置图(V, E' )中有路径从u->C则证明u、C在同一连通分量中，u、C可以合并；2，图(V,
E)中u、C互相隔离，则转置图G(V, E' )中，u、C也不相连，u不会加入C所在的连通分量。

最小生成树。已有最小生成树的子集，然后用贪心法选择一条边加入子集。最终所有点加入后，得到最小生成树。 Kruskal算法，选择加入子集的原则是每次一条最短的边加入森林，直到所有点构成一棵最小生成树。Prim算法，每次在子集之外与子集连接的边中选择一条最短的边加入。

MST_Kruskal(G){
E[]= sorted G.E;
for each edge(u,v) in E[] {
if(v not in u.Set){
add edge(u,v) to A;
union(u.Set, v.Set) in one Set;
}
}
}
MST_Prim(G){
add all vertex in Q;
edge(u,v) = minimum(G.E); u.key=edge;
while(Q not empty){
u=Q.extract_min; mark u as MST;
for each v in G.Adj[v]{
if(v not MST && v.key>w(u,v) ) {v.key=w(u,v); v.p=u; update v in Q;}
}
}
}