扩展gcd 以及线性同余模方程

欧几里得算法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。 证明略去了。

基本代码实现：

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1	int gcd( int a, int b)

2

{

3

if (b==0)

4

return a;

5

return

6	gcd(b,a%b);

7

}

扩展欧几里得算法

扩展欧几里德算法是欧几里得算法的扩展。

已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式

。有两个数a,b，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数——这是众所周知的。然后，收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。

用类似辗转相除法，求二元一次不定方程47x+30y=1的整数解。

47=30*1+17
30=17*1+13
17=13*1+4
13=4*3+1

然后把它们改写成“余数等于”的形式

17=47*1+30*(-1) //式1
13=30*1+17*(-1) //式2
4=17*1+13*(-1) //式3
1=13*1+4*(-3)

然后把它们“倒回去”

1=13*1+4*(-3) //应用式3
1=13*1+[17*1+13*(-1)]*(-3)
1=13*4+17*(-3) //应用式2
1=[30*1+17*(-1)]*4+17*(-3)
1=30*4+17*(-7) //应用式1
1=30*4+[47*1+30*(-1)]*(-7)
1=30*11+47*(-7)

得解x=-7, y=11。

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

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01

证明：设 a>b。

02

03	推理1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0； //推理1

04

05	推理2，ab!=0 时

06

07	设 ax1+by1=gcd(a,b);

08

09	bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

10

11	根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

12

13	则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

14

15	即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

16

17	根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2; //推理2

18

19	这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

20

21	上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

扩展欧几里德的递归代码：

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01	#include <iostream>

02	using namespace std;

03

04	int exgcd( int a, int b, int & x, int & y){

05	if (b == 0){

06	//根据上面的推理1，基本情况

07

x = 1;

08

y = 0;

09

return a;

10

}

11	int r = exgcd(b, a%b, x, y);

12

//根据推理2

13	int t = y;

14	y = x - (a/b)*y;

15

x = t;

16

return r;

17

}

18

19	int main() {

20

int x,y;

21	exgcd(47,30,x,y);

22	cout << "47x+30y=1 的一个整数解为: x=" << x << ", y=" << y << endl;

23

return 0;

24

}

非递归实现，比上面的看上去要复杂了不少，不熟悉的话直接用上面的就可以：

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01	int exgcd( int m, int n, int &x, int &y)

02

{

03	int x1,y1,x0,y0;

04	x0=1; y0=0;

05	x1=0; y1=1;

06

x=0; y=1;

07	int r=m%n;

08	int q=(m-r)/n;

09

while (r)

10

{

11	x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;

12	x0=x1; y0=y1;

13	x1=x; y1=y;

14	m=n; n=r; r=m%n;

15	q=(m-r)/n;

16

}

17

return n;

18

}

扩展欧几里德算法的应用

（1）求解不定方程

用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c;

这个应该比较好理解了，两个可以同乘以k

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1	bool linear_equation( int a, int b, int c, int &x, int &y)

2

{

3	int d=exgcd(a,b,x,y);

4

if (c%d)

5	return false ;

6	int k=c/d;

7	x*=k; y*=k; //求得的只是其中一组解

8	return true ;

9

}

（2）求解模线性方程（线性同余方程）

同余方程 ax≡b (mod n) (也就是 ax % n = b) 对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b (也就是 b % (gcd(a,n))==0 )。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。

求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)

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1	在方程 3x ≡ 2 (mod 6) 中， d = gcd(3,6) = 3 ，3 不整除 2，因此方程无解。

2

3	在方程 5x ≡ 2 (mod 6) 中， d = gcd(5,6) = 1，1 整除 2，因此方程在{0,1,2,3,4,5} 中恰有一个解: x=4。

证明略去，直接说算法：

首先看一个简单的例子：

5x=4(mod3)

解得x = 2,5,8,11,14…….

由此可以发现一个规律，就是解的间隔是3.

那么这个解的间隔是怎么决定的呢？

如果可以设法找到第一个解，并且求出解之间的间隔，那么就可以求出模的线性方程的解集了.

我们设解之间的间隔为dx.

那么有

a*x = b(mod n);

a*(x+dx) = b(mod n);

两式相减，得到:

a*dx(mod n)= 0;

也就是说a*dx就是a的倍数，同时也是n的倍数，即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.

设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.

即a*dx = a*n/d;

所以dx = n/d. (d = gcd(a,n) )

因此解之间的间隔就求出来了.

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01	bool modular_linear_equation( int a, int b, int n)

02

{

03	int x,y,x0,i;

04	int d=exgcd(a,n,x,y);

05

if (b%d)

06	return false ;

07	x0=x*(b/d)%n; //特解

08	for (i=1;i<d;i++)

09	printf ( "%d\n" ,(x0+i*(n/d))%n);

10	return true ;

11

}

（3）求解模的逆元；

同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。

在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。

这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。

对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程

ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。

练习题

青蛙的约会

参考：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%90%8C%E4%BD%99%E6%96%B9%E7%A8%8B

http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html



原地址：http://www.acmerblog.com/extend-gcd-5610.html