Topcoder Srm 648 DIV1

SRM 648 250pt AB

题意：给出长度N，K，问存在多少个由AB两个字符组成的字符串，满足存在K对(i,j) (i < j)，且s[i] = 'A', s[j] = 'B'(N <= 50, K <= N * (N - 1) / 2)

思路：dp[i][j][k]表示当长度为i的时候，存在了j对，且前面有k个A，

那么下一个字符，如果是A，则dp[i + 1][j][k + 1] += dp[i][j][k]，否则，如果是B，则(A,B)关系对增加了k个，dp[i + 1][j + k][k] += dp[i][j]][k]

SRM 648 550 pt KitayutaMart

题意：给出N，K，有N种物品，第i种初始价格是i，每种都有无数次，对于同一种物品，每买一次，价格变成原来的两倍，比如对第i个物品，第j次买的时候价格是i * 2^(j - 1)，问在最优情况下，买K个物品的价格是多少？(1 <= N,K <= 10^9)

思路：当第一次选N的时候，N / 2的肯定要多选一次，同理N / 4是N / 2的倍数等等 fun(n) = n + fun(n / 2)

枚举最后一个选了P次，然后P * fun(n)，但是这样可能数目不够，对于多余的，二分哪个物品取多了一次，也就是将新的n设置为二分的值，看看数量是否足够即可。

SRM 648 850pt Fragile

题意：给出N,K (N <= 50,K <= N - 1)，问存在多少个N个点无向图，没有自环，其桥的数目是K。 所谓桥，即断开这条边，不连通的块增加

思路：用了比较麻烦的方法。需要预先解决几个子问题。

（1）N个点的不同连通图数目是多少（POJ 1737）。

N个点的边数是N * (N - 1) / 2，因此任意选一些边集的话，有TOT(N) = 2^(N * (N - 1) / 2)种情况。但是这样包含了不连通的，需要减掉。

不连通的数量可以枚举有多少个点与最小标号的1点连通，这样就是sigma( C(nN- 1,i - 1) * i个点的连通图 * TOT(N - i))，这个意思是，从N - 1个点中选出i - 1个点与1号点组成一个大小为i的连通图，然后剩余的N - i个点随便组，只要不与1所在的连通块连通即可

（2）N个点组成K个连通块的方案数

有了（1），其余就是一个普通背包，类似原理，枚举当前点集最小标号的点的连通块大小即可

（3）N个点组成一个无桥的连通图方案数，即双连通图

N个点组成的连通图方案数 - sigma(i个点组成双连通图方案数 * sigma(i个点的连通块外面连了K个桥边)）

sigma(i个点组成的双连通图方案数 * sigma(i个点的连通块外面连了K个桥边))，意思是最小标号1所在的双连通块的大小。由于N个点的图是连通图，所以1所在的双连通块必然与剩下的点连通，枚举桥边数目，然后是用N - i个点分成K个连通块的数量，(2)已经求出

（4） N个点，分成C个不连通的块，每个块的桥总数为K

枚举最小标号点1所在的块大小i，已经桥的边数x，然后 * (N - i 个点，组成C - 1个不连通的块，每个块的桥之和为K - x)

（5）N个点，组成刚好M个桥的连通图方案数

（4）（5）是嵌套记忆化搜索的。

枚举1所在的双连通块的大小i，且这个块去掉后分成了K个连通块，那么问题就是C(N - 1,i - 1) * (i个点组成一个无桥连通图（3）) * (N - i个点，分成K个不连通的块，块的桥总和是M - K（4）)的方案数

（6）问题的最终解，即N个点的无向图，具有K个桥的方案数

枚举1所在的块的点数i，桥数j，那么就是 C(N - 1,i - 1） * i个点，j个桥的连通图(5) * N - i个点的无向图具有K个块的方案数（6）（记忆化递归解）