算法导论 第14章 数据结构的扩张(四) 14-1 最大重叠点
2015-02-06 20:26
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题目
同习题14.3-6我们依然运用数据结构扩张的四个步骤来解决这个问题。
步骤1:选取基础数据结构
我们选择红黑树作为基础数据结构来扩张,红黑树是这章的主题,扩张之后所得的树称之为最大重叠点(POM)树。由于要求得区间的最大重叠点,因而当然的,我们的节点必然包含一个域存储以该节点为根的子树的最大POM,即为pom域。
步骤2:附加信息
除了pom域之外,为了能够有效地维护pom域,我们还将增加另外三个域:对于节点x而言,p,当x为某区间的左端点时,p为1;若为右端点,则为-1;p_sum,记录以x为根的子树中所有p的和;max,记录以x为根的子树中p的最大值,其实max就是节点x中的pom值重叠的次数。
步骤3:对信息的维护
新增加的三个域都是为了能够有效维护pom而增加的,结合下面的更新某个节点信息的update函数我们来讨论如何维护这些信息。
函数第四行计算当前节点curr的max,最大值是左子树的max,左子树的p_sum与curr的p的和,以及左子树的p_sum、curr的p还有右子树的max的和,这三者之间的最大值。关于后两者的计算,可以这样理解:当树的大小从局部左子树扩张到当前节点,即包含节点时,左子树中可能既存在某些区间的左端点,也有右端点。那么对于当前节点而言,它势必不在这个区间中,因此不能够是左子树的max和curr的p值之和,而是p_sum与p的和,同理后后者也是如此。update函数最后的if语句则判断以x为根的子树中最大重叠点是哪个,这主要通过判断由上步算出的max与哪个值相等来确定。
明显地,该函数的执行时间为O(1)。同习题14.3-6,插入和删除过程的更新过程是不能做到自顶向下的,只能在确定位置之后,在自底向上去更新,查找时间是O(lgn),向上更新也是,因而插入和删除的渐进时间并没有改变。
步骤4:设计新操作
除了update函数,还将增加findPom函数返回最大重叠点以及自底向上的更新函数keep。
OK,解决这四步,稍微对红黑树其他操作做些修改就可以构造出一颗最大重叠点树。下面是该树的C++实现代码:
对于main函数中的三组测试数据,细心的朋友可能已经发现第一组和第二组只有区间[19,20]的输入顺序不同,这也正是本代码存在的一个小bug,即如果存在这样的两个区间[x,y]和[y,z],x <= y <= z,且y恰好是这些区间的最大重叠点,那么要保证得到正确结果,则需要将较靠后的区间先输入,即[y,z]先输入。这个bug我调了好久都没有找回解决方案,我估计还是更新或者初值设定有问题,如果哪位朋友知道是什么原因,希望能告知我,谢谢!
那么为了避免这个小bug,我们可以先将区间按左端点或者右端点从大到小排序,再输入;如果输入中不存在这样的区间,那最好了。
同习题14.3-6我们依然运用数据结构扩张的四个步骤来解决这个问题。
步骤1:选取基础数据结构
我们选择红黑树作为基础数据结构来扩张,红黑树是这章的主题,扩张之后所得的树称之为最大重叠点(POM)树。由于要求得区间的最大重叠点,因而当然的,我们的节点必然包含一个域存储以该节点为根的子树的最大POM,即为pom域。
步骤2:附加信息
除了pom域之外,为了能够有效地维护pom域,我们还将增加另外三个域:对于节点x而言,p,当x为某区间的左端点时,p为1;若为右端点,则为-1;p_sum,记录以x为根的子树中所有p的和;max,记录以x为根的子树中p的最大值,其实max就是节点x中的pom值重叠的次数。
步骤3:对信息的维护
新增加的三个域都是为了能够有效维护pom而增加的,结合下面的更新某个节点信息的update函数我们来讨论如何维护这些信息。
void update(node *curr) { curr->p_sum = curr->left->p_sum + curr->p + curr->right->p_sum; curr->max = Max(curr->left->max, curr->left->p_sum + curr->p, curr->left->p_sum + curr->p + curr->right->max); if (curr->left != nil && curr->max == curr->left->max) curr->pom = curr->left->pom; else if (curr->right != nil && curr->max == curr->left->p_sum + curr->p + curr->right->max)curr->pom = curr->right->pom; else curr->pom = curr->key; }
函数第四行计算当前节点curr的max,最大值是左子树的max,左子树的p_sum与curr的p的和,以及左子树的p_sum、curr的p还有右子树的max的和,这三者之间的最大值。关于后两者的计算,可以这样理解:当树的大小从局部左子树扩张到当前节点,即包含节点时,左子树中可能既存在某些区间的左端点,也有右端点。那么对于当前节点而言,它势必不在这个区间中,因此不能够是左子树的max和curr的p值之和,而是p_sum与p的和,同理后后者也是如此。update函数最后的if语句则判断以x为根的子树中最大重叠点是哪个,这主要通过判断由上步算出的max与哪个值相等来确定。
明显地,该函数的执行时间为O(1)。同习题14.3-6,插入和删除过程的更新过程是不能做到自顶向下的,只能在确定位置之后,在自底向上去更新,查找时间是O(lgn),向上更新也是,因而插入和删除的渐进时间并没有改变。
步骤4:设计新操作
除了update函数,还将增加findPom函数返回最大重叠点以及自底向上的更新函数keep。
OK,解决这四步,稍微对红黑树其他操作做些修改就可以构造出一颗最大重叠点树。下面是该树的C++实现代码:
/*****求多个区间的最大重叠点,姑且称为最大重叠点树,红黑树扩张 *增加了p,p_sum,max,pom等数据成员 *增加了update和keep函数 *微调insert,左右旋以及erase函数 */ #include<iostream> //#include<cstdlib> using namespace std; enum COLOR { red, black };//枚举,定义颜色 #define Max(i,j,k) (i > j ? (i > k ? i : k) : (j > k) ? j : k); const int MAX = 0x7fffffff; class node { private: friend class POMTree; node *parent; node *left; node *right; int key; int p;//左端点为1,右端点为-1 int p_sum;//以当前节点为根的子树中p的和 int max;//以当前节点为根的子树中p的和的最大值 int pom;//使其取到最大值的关键字,即此子树的最大重叠点 COLOR color; node(){}//默认构造函数,只供创建nil时调用 public: node(int k, COLOR c = red) :key(k), p_sum(0), max(0), pom(k), color(c), parent(NULL), left(NULL), right(NULL){} void print()const { printf("key:%-10d POM:%-10d max:%-10d p_sum:%-10d p:%-10d", key, pom, max, p_sum, p); if (color == red) printf("red\n"); else printf("black\n"); } //省略指针域的getter和setter }; class POMTree { private: static node *nil;//哨兵,静态成员,被整个POMTree类所共有 node *root; POMTree(const POMTree&);//禁止复制构造 POMTree operator=(const POMTree&);//禁止赋值 void leftRotate(node*);//左旋 void rightRotate(node*);//右旋 void insertFixup(node*);//插入节点后红黑性质调整 void eraseFixup(node*);//删除节点后红黑性质调整 void update(node*);//更新节点信息 void keep(node*);//自底向上更新路径信息 public: POMTree() :root(nil) { root->parent = nil; root->left = nil; root->right = nil; root->color = black; root->key = MAX; root->p = 0; root->p_sum = 0; root->max = 0; root->pom = MAX; } POMTree(node *rbt) :root(rbt){}//复制构造函数,用于创建子红黑树对象 void insert(int, bool);//插入 void create();//创建红黑树 void erase(int);//删除 node* locate(int)const;//查找 node* minMum()const;//最小值 node* maxMum()const;//最大值 node* successor(int)const;//找后继 node* predecessor(int)const;//前驱 void preTraversal()const;//先根遍历 void inTraversal()const;//中根遍历 void destroy();//销毁红黑树 void findPom()const { root->print(); } bool empty()const{ return root == nil; }//判空 }; node *POMTree::nil = new node;//定义静态成员nil void POMTree::update(node *curr) { curr->p_sum = curr->left->p_sum + curr->p + curr->right->p_sum; curr->max = Max(curr->left->max, curr->left->p_sum + curr->p, curr->left->p_sum + curr->p + curr->right->max); if (curr->left != nil && curr->max == curr->left->max) curr->pom = curr->left->pom; else if (curr->right != nil && curr->max == curr->left->p_sum + curr->p + curr->right->max)curr->pom = curr->right->pom; else curr->pom = curr->key; } void POMTree::keep(node *curr) { while (curr != nil) { update(curr); curr = curr->parent; } } void POMTree::leftRotate(node *curr) { if (curr->right != nil) {//存在右孩子时才能左旋 node *rchild = curr->right; curr->right = rchild->left; if (rchild->left != nil) rchild->left->parent = curr; rchild->parent = curr->parent; if (curr->parent == nil) root = rchild; else if (curr == curr->parent->left) curr->parent->left = rchild; else curr->parent->right = rchild; curr->parent = rchild; rchild->left = curr; rchild->p_sum = curr->p_sum; rchild->max = curr->max; rchild->pom = curr->pom; update(curr); } } void POMTree::rightRotate(node *curr) { if (curr->left != nil) {//存在左孩子时才能右旋 node *lchild = curr->left; curr->left = lchild->right; if (lchild->right != nil) lchild->right->parent = curr; lchild->parent = curr->parent; if (curr->parent == nil) root = lchild; else if (curr == curr->parent->left) curr->parent->left = lchild; else curr->parent->right = lchild; lchild->right = curr; curr->parent = lchild; lchild->p_sum = curr->p_sum; lchild->max = curr->max; lchild->pom = curr->pom; update(curr); } } void POMTree::insert(int k, bool start) { node *pkey = new node(k), *p = nil, *curr = root; if (start) { pkey->p = 1; pkey->p_sum = 1; pkey->max = 1; pkey->pom = k; } else { pkey->p = -1; pkey->p_sum = -1; pkey->max = 0; pkey->pom = k; } while (curr != nil) {//找插入位置 p = curr;//记住当前节点父亲 if (k < curr->key)//往左找 curr = curr->left; else curr = curr->right;//向右找 } pkey->parent = p; if (p == nil)//插入的是第一个节点 root = pkey; else if (k < p->key) p->left = pkey; else p->right = pkey; pkey->left = pkey->right = nil; keep(pkey->parent); insertFixup(pkey);//调整 } void POMTree::insertFixup(node *curr) { while (curr->parent->color == red) {//父亲为红节点时才需要进入循环调整 if (curr->parent == curr->parent->parent->left) {//父亲是祖父左孩子 node *uncle = curr->parent->parent->right; if (uncle != nil && uncle->color == red) {//情况1,叔叔节点存在且为红色 curr->parent->color = black; uncle->color = black; curr->parent->parent->color = red; curr = curr->parent->parent; } else if (curr == curr->parent->right) {//情况2,叔叔节点为黑色,且当前节点是父亲右孩子 curr = curr->parent; leftRotate(curr);//将父节点左旋,以转变为情况3 } else {//情况3,叔叔节点为黑色,且当前节点是父亲左孩子 curr->parent->color = black; curr->parent->parent->color = red; rightRotate(curr->parent->parent); } } else {//父亲是祖父右孩子,与上面三种情况对称 node *uncle = curr->parent->parent->left; if (uncle != nil && uncle->color == red) {//情况1 curr->parent->color = black; uncle->color = black; curr->parent->parent->color = red; curr = curr->parent->parent; } else if (curr == curr->parent->left) {//情况2 curr = curr->parent; rightRotate(curr); } else {//情况3 curr->parent->color = black; curr->parent->parent->color = red; leftRotate(curr->parent->parent); } } } root->color = black;//跳出循环时将根节点置为黑色 } void POMTree::create() { int low, high; cout << "Enter element(s),CTRL+Z to end" << endl;//换行后CTRL+Z结束输入 while (cin >> low >> high) { insert(low, true); insert(high, false); } cin.clear(); } void POMTree::preTraversal()const { node *curr = root; if (curr != nil) { curr->print(); POMTree LEFT(curr->left);//继续左子树先根遍历 LEFT.preTraversal(); POMTree RIGHT(curr->right); RIGHT.preTraversal(); } } void POMTree::inTraversal()const { node *curr = root; if (curr != nil) { POMTree LEFT(curr->left); LEFT.inTraversal(); curr->print(); POMTree RIGHT(curr->right);//继续右子树中根遍历 RIGHT.inTraversal(); } } node* POMTree::successor(int k)const { node *curr = locate(k); if (curr->right != nil) {//若右子树不为空,则后继为右子树最小值 POMTree RIGHT(curr->right); return RIGHT.minMum(); } node *p = curr->parent; while (p != nil && curr == p->right) {//否则为沿右指针一直向上直到第一个拐弯处节点 curr = p; p = p->parent; } return p; } node* POMTree::minMum()const { node *curr = root; while (curr->left != nil) curr = curr->left; return curr; } node* POMTree::maxMum()const { node *curr = root; while (curr->right != nil) curr = curr->right; return curr; } node* POMTree::predecessor(int k)const { node *curr = locate(k); if (curr->left != nil) {//若左子树不为空,则前驱为左子树最大值 POMTree LEFT(curr->left); return LEFT.maxMum(); } node *p = curr->parent; while (p != nil && curr == p->left) {//否则为沿左指针一直往上的第一个拐弯处节点 curr = p; p = p->parent; } return p; } void POMTree::erase(int k) { node *curr = locate(k), *pdel, *child; if (curr == nil) { cout << "Error:no data" << endl; return; } if (curr->left == nil || curr->right == nil)//决定删除节点 pdel = curr;//若当前节点至多有一个孩子,则删除它 else pdel = successor(k);//否则若有两孩子,则删除其后继 node *pdel_parent = pdel->parent;//记下被删节点父亲 if (pdel->left != nil)//记下不为空的孩子 child = pdel->left; else child = pdel->right; child->parent = pdel_parent; if (pdel_parent == nil)//若删除的是根节点 root = child; else if (pdel == pdel_parent->left)//否则若被删节点是其父亲左孩子 pdel_parent->left = child; else pdel_parent->right = child; if (curr != pdel) curr->key = pdel->key;//若被删的是后继,则将后继值赋给当前节点 keep(pdel_parent); if (pdel->color == black)//被删节点为黑色时才调整 eraseFixup(child); delete pdel;//释放所占内存 } void POMTree::eraseFixup(node *curr) { while (curr != root && curr->color == black) {//当前不为根,且为黑色 if (curr == curr->parent->left) {//若其是父亲左孩子 node *brother = curr->parent->right;//兄弟节点肯定存在 if (brother->color == red) {//情况1,兄弟是红色,转变为情况2,3,4 brother->color = black; curr->parent->color = red; leftRotate(curr->parent); brother = curr->parent->right; } if (brother->left->color == black && brother->right->color == black) {//情况2,兄弟是黑色,且两孩子也是黑色,将当前节点和兄弟去一重黑色 brother->color = red; curr = curr->parent; } else if (brother->right->color == black) {//情况3,兄弟左孩子为红,右孩子为黑,转变为情况4 brother->color = red; brother->left->color = black; rightRotate(brother); brother = curr->parent->right; } else {//情况4,右孩子为黑色,左孩子随意 brother->color = curr->parent->color; curr->parent->color = black; brother->right->color = black; leftRotate(curr->parent); curr = root; } } else {//若其是父亲右孩子,与上面四中情况对称 node *brother = curr->parent->left; if (brother->color == red) {//情况1 brother->color = black; curr->parent->color = red; rightRotate(curr->parent); brother = curr->parent->left; } if (brother->right->color == black && brother->left->color == black) {//情况2 brother->color = red; curr = curr->parent; } else if (brother->left->color == black) {//情况3 brother->color = red; brother->right->color = black; leftRotate(brother); brother = curr->parent->left; } else {//情况4 brother->color = curr->parent->color; curr->parent->color = black; brother->left->color = black; rightRotate(curr->parent); curr = root; } } } curr->color = black;//结束循环时将当前节点置为黑色 } node* POMTree::locate(int k)const { node *curr = root; while (curr != nil && curr->key != k) { if (k < curr->key)curr = curr->left; else curr = curr->right; } return curr; } void POMTree::destroy() { while (root != nil) { //cout << "erase: " << root->key << endl; erase(root->key); } delete nil; } int main() {//16 21 8 9 25 30 5 8 15 23 19 20 17 19 26 26 0 3 6 10 //16 21 8 9 25 30 5 8 15 23 17 19 26 26 0 3 6 10 19 20 //7 9 5 8 0 3 6 10 POMTree ptree; ptree.create(); cout << "inTraversal-----" << endl; ptree.inTraversal(); cout << "preTraversal----" << endl; ptree.preTraversal(); int low,high,choice; cout << "Enter your choice,1-insert,2-delete,3-POM,4-print,5-exit" << endl; do { cin >> choice; switch(choice) { case 1: cout << "Enter a interval,ex-> a b (a <= b): "; cin >> low >> high; ptree.insert(low,true); ptree.insert(high,false); break; case 2: cout << "Enter a interval,ex -> a b (a <= b): "; cin >> low >> high; ptree.erase(low); ptree.erase(high); break; case 3: ptree.findPom(); break; case 4: cout << "inTraversal-----" << endl; ptree.inTraversal(); cout << "preTraversal----" << endl; ptree.preTraversal(); break; case 5: ptree.destroy(); return 0; default: cout << "Bad choice" << endl; } //cout << "Enter your choice,1-insert,2-delete,3-POM,4-print,5-exit" << endl; }while(choice >= 1 && choice <= 5); ptree.destroy(); return 0; }
对于main函数中的三组测试数据,细心的朋友可能已经发现第一组和第二组只有区间[19,20]的输入顺序不同,这也正是本代码存在的一个小bug,即如果存在这样的两个区间[x,y]和[y,z],x <= y <= z,且y恰好是这些区间的最大重叠点,那么要保证得到正确结果,则需要将较靠后的区间先输入,即[y,z]先输入。这个bug我调了好久都没有找回解决方案,我估计还是更新或者初值设定有问题,如果哪位朋友知道是什么原因,希望能告知我,谢谢!
那么为了避免这个小bug,我们可以先将区间按左端点或者右端点从大到小排序,再输入;如果输入中不存在这样的区间,那最好了。
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