示波器波形参数测量和FFT分析

孙灯亮博客<示波器波形参数测量和FFT分析> http://blog.sina.com.cn/s/blog_5d713e7a0100ka7o.html
FFT了解

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。

现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍。采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。

假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。

假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。

对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。
由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。

总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。

数字示波器的FFT分析功能

FFT是一项很强大的分析功能，在数字示波器中普遍存在，基于先进的FFT分析，设计人员可以准确了解信号中引入的干扰信号频点，信号功率谱，信号频率构成，滤波电路截频特性等。为了更好的理解示波器FFT，下面我们不妨先来简单地回顾一下FFT中几个重要的参数和关系表达式。

采样率：示波器的采样频率，用Fs表示。为了让讲解内容更易于理解，下面不妨就以1GS/S这个值代替Fs作为示波器的采样率用来描述相关问题；

FFT点数：示波器用于FFT变换的样本数据个数，用N表示。假如示波器可执行4M点的实时FFT运算（以致远电子ZDS2022示波器为例）。显然用4M点做FFT变换，势必需要惊人的运算能力和运算效率；

频率分辨率：用△f 表示示波器能分辨的最小频率。假设频率分辨率为10Hz，则可分辨10Hz、20Hz、30Hz……等10Hz整数倍的频率点，但不能分辨出15Hz、25Hz、37Hz等非整数倍的频率点。

如果被测信号中存在15Hz这样的信号，显然经过FFT变换后，频谱上不会出现15Hz这个频率点，即无法分析出来。但该频点的能量并不会消失，而是将泄露到与之相近的10Hz 和20Hz 频点上，不仅造成15Hz的信号分辨不出来，更是连10Hz和20Hz频点的幅值也变得有错误，因为15Hz频点的能量泄露到这两个频点上去了。因此唯有进一步提高FFT的频率分辨率，比如，提高到5Hz或1Hz或更高（△f值越小越好），才能准确分辨信号频率成分。在采样率一定时，若想提高频率分辨率，则只能通过增加FFT点数来实现，但有个前提，那就是示波器必须具备足够强的运算能力和足够大的存储深度，且两者缺一不可。当然，还有另一种方法去提高频率分辨率，那就是降低信号采样率，但势必会导致无法分析高频信号，同时也面临一个现实的问题，几乎所有的示波器都是无法手动设置示波器的采样频率。

采样时间：在采样率Fs下，采集N个点所需要的时间，用T表示，显然T=N / Fs。注意该采样时间对应于FFT变换所用的N个点，而非整个示波器的捕获时间。而示波器捕获时间对应于整个存储深度，当做FFT变换时，并不一定需要使用全部的存储深度，因此两者不等价。

事实上，上述的参数构成了一个重要关系式，将贯穿整个关于FFT的阐述之中。

△f = Fs / N （1）

即频率分辨率等于采样率除以FFT点数。将上述公式稍作变换：

△f = Fs / N =1 / (N / Fs) = 1 / T （2）

即频率分辨率等于采样时间的倒数。实际上公式（1）和（2）是等价的，只是从不同的角度来说明问题而已。

为什么示波器必须做到4M个点的实时FFT呢？常见的一些示波器，FFT最大只支持8K个点，甚至有些示波器只有1K个点。根据上面的关系表达式可以看出，在1GS/S采样率下，最高频率分辨率只有

Fs/N=1GS/S/ 8K点 = 125KHz

也就意味着，如果被测信号不是125K的整数倍，则根本无法判断信号频谱。真实世界又能有多少个被测信号正好是125KHz的整数倍呢? 因此这种示波器的FFT没有任何实用价值。这也是为什么普遍的示波器宣传资料中，几乎见不到关于FFT性能宣传的根本原因。

有少量的示波器厂商对FFT做了深度优化，使得其示波器最大可支持数百万点的FFT甚至更多，但高性能FFT一般都在高端示波器上，下面以周立功的ZDS2022为例来介绍（4M FFT点，售价9999元，性价比是很高的）。根据上述的关系表达式，在1GS/S采样率下，FFT的频率分辨率仍能达到1GS/S / 4M点 = 250Hz。显然，在1GS/S采样率下能够达到这样的频率分辨率，也就是说只要被测信号频率是250Hz的整数倍，ZDS2022就能准确无误地分辨出来。即便被测信号不是250Hz的整数倍，即便存在频谱泄露，但在250Hz这么小的频率分辨率下，也能较准确地分析出被测信号的大致频点。

假设被测信号中包含100KHz和150KHz两种频率分量，以及其它的一些更高频率的信号，对于普通示波器来说，由于最大只支持8K点FFT，即频率分辨率只有125KHz，显然无法分辨出100KHz和150KHz频点信号。为了证明这一点，我们不妨做一些测试。为了避免真实信号中本身的干扰影响到分析的准确性，则采用MATLAB构建一个纯正的信号来从数学原理上进行分析。下面设计一个信号：

y =0.7*sin(2*pi*100000*t) + 1.2*sin(2*pi*150000*t)

这是一个包含100KHz和150KHz两种频率分量的信号，幅值分别为0.7和1.2，此信号详见下图：





原始信号（包含100KHz和150KHz两种频率分量）

下面分别以1GS/S采样率对该信号采样，做8K点和4M点的FFT变换，直接给出结果，其相应的代码详见程序清单。

程序清单 MATLAB代码





按理说FFT可以直接分析出100KHz和150KHz频率信号，真的是这样？如下图所示为8K点FFT结果，为何没有看到100KHz和150KHz这两个信号呢？而屏幕上只有一个125KHz的信号，且幅值既不是0.7，也不是1.2，却是毫不相干的1.464。因为在8K点时，频率分辨率只有Fs/N=1GS/S / 8K = 125KHz，导致无法分辨100KHz和150KHz频点，又由于频谱泄露，250KHz频点处都能看到幅值为0.2249，直流分量（0Hz）也有幅值0.2062，显然给出的信号中并无这两个分量。那么8K点FFT给了用户正确结果吗？显然没有。不单是幅值不正确，就连那些最基本的频率分量都是错的，这样的FFT有何意义？





下面我们再来看一下4M点FFT得出的结果将会是怎样，详见下图。由于4M点FFT时频率分辨率高达250Hz，因此可以准确无误地分辨出100KHz和150KHz频点信号，且无频谱泄露，100KHz信号幅值为0.7，150KHz信号幅值为1.2，准确无误地给出了最真实的结果，4M点相对8K点的FFT优势就在于此，可准确有效地分析出信号频谱成分，为用户提供真正有用的频谱结果。





假设要经常分析电路中存在的噪声，又遇上示波器频率分辨率不够好，则无论如何都不能准确定位出噪声来源。若采用带4M点FFT分析的示波器（例如ZDS2022示波器）进行分析则会截然不同，因为有4M点FFT，即使在1GS/S采样率下，频率分辨率仍能达到250Hz，所以在FFT变换后能准确发现20KHz的噪声。联想到所用的DC-DC电源，其开关频率正好是20KHz，于是迅速定位到了噪声来源。



ZLG ZDS2022示波器-最强FFT分析功能

综上所述，客户遇到的问题就是我们的机会所在，当在200MHz带宽示波器上实现了4M点的FFT运算时，就可以在1GS/s采样率下保证FFT的频率分辨率达到250Hz水平，让示波器真正成为信号分析利器。