【URAL】1091 Tmutarakan Exams （简单容斥原理）

题目大意：从不大于s的非负数中选择k个，并且k个数的最大公约数大于1，问有多少组。

思路：

这边我们可以枚举最小公约数，那么最小公约数的个数中选择k个即为一种方案，

因为最大数不超过50.

所以枚举的最小公约数即为小于30的所有质数。{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}

现在可以假设选择了以最小公约数为2的序列，已经最小公约数为3的序列，可以知道，最小公约为6的序列被多算了一遍。

所以这边需要再减去从6的倍数的个数当中选择出k个数的组数。需要用到组合。

不过这边有一点需要注意的是，采用的是最小公约数来枚举，所以我们最后的结果为

p(2)+p(3)+----+p(23)-p(2&3)-p(2&5)....p(2&11)

其中p(2)表示的是从2的倍数的个数当中选择k个出来的组数。

p(2&3)表示的是从6的倍数当中选择k个出来的组数。由于k>2，所以最大的公约数为23，所以考虑交叉的最后一个应该是p(2&11)，继续枚举的话，会因为个数不够，都为0

可以理解一下集合相交的请况，便可以知道为什么这么做。

枚举代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int c[55][55];
int pr[10] = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29};
int main()
{
for (int i = 1; i <= 30; i++)
{
c[i][0] = c[i][i] = 1;
for (int j = 1; j < i; j++)
c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j];
}
int k, s;
while (cin >> k >> s)
{
int num[10];
int x = 0;
int i;
for (i = 0; s / pr[i]>= k; i++)
num[i] = s / pr[i];
int sum = 0;
for (int j = 0; j < i; j++)
sum += c[num[j]][k];
sum -= c[s / 6][k];
sum -= c[s / 10][k];
sum -= c[s / 14][k];
sum -= c[s / 15][k];
sum -= c[s / 21][k];
sum -= c[s / 22][k];
if (sum > 10000)
sum = 10000;
cout << sum << endl;
}
}

容斥原理应用：使用的是DFS搜索。

#include<iostream>
using namespace std;
int c[30][30];
int p[11] = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 };
int ans;
int k, s;
void init()
{
for (int i = 1; i <= 29; i++)
{
c[i][0] = c[i][i] = 1;
for (int j = 1; j < i; j++)
c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j];
}
}
void dfs(int id, int flag, int lcm)
{
if (id == 10)	return;
dfs(id + 1, flag, lcm);
int lcm1 = lcm*p[id];
int l=s/lcm1;
if (l < k) return;
ans += c[l][k] * flag;
dfs(id + 1, -flag, lcm1);
}
int main()
{
while (cin >> k >> s)
{
ans = 0;
init();
dfs(0, 1, 1);
if (ans > 10000)	ans = 10000;
cout << ans << endl;
}
}