【数值分析】复化积分公式

对于积分：



只要找到被积公式的原函数F(x)，利用牛顿莱普利兹公式有：





但是，实际使用这种求积分的方法往往是有困难的，因为大量的被积函数的原函数是不能用初等函数表示的；另外，当f(x)是由测量或数值计算给出的一张数据表时，牛顿莱普利兹公式也无法直接运用，因此有必要研究积分的数值计算问题。
对于一些理论的推导，大家可以看看维基百科，下面我主要给出牛顿-科特斯公式在n=1(梯形求积公式)、n=2（辛普森公式）的情况，并通过代码实现。

梯形公式：





辛普森公式：





应用高阶牛顿-科特斯公式计算积分时，会出现数值不稳定的情况，而低阶公式往往因为积分步长过大使得离散误差变大，因此，为了提高求积公式的精度，可以把积分区间分成若干个子区间，在每个子区间上使用低阶求积公式，然后将结果加起来，这种方法称为复化求积法。

复化梯形公式
将区间[a,b]划分为n等分，步长为h=(b-a)/h，节点为

，在每个子区间

使用梯形公式得：





复化辛普森公式

根据复化梯形公式的推导，同理可得复化辛普森公式为：





下面我们通过实例来实现复化梯形公式和复化辛普森公式：

对于函数f(x)=sin(x)/x，试用复化梯形公式和复化辛普森公式计算函数f(x)在[0，1]上的积分。

具体的程序实现如下：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
double Function(double x)//所要计算积分的函数f(x)
{
    if(x==0)//sin(x)/x在0处的取值为1
        return 1;
    else
        return sin(x)/x;
}
//复化梯形公式
double Trapz(double a,double b,int n)
{
    double h=(b-a)/n;
    double T=0;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        T=T+Function(a+i*h);
    }
    T*=2;
    T=(Function(a)+Function(b)+T)*h/2;
    return T;
}
//复化辛普森公式
double MulripleSimpson(double a,double b,int n)
{
    double h=(b-a)/n;
    double T=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        T=T+Function(a+i*h)+4*Function(a+(i+0.5)*h)+Function(a+(i+1)*h);
    }
    T=T*h/6;
    return T;
}
void main()
{
    printf("使用复化梯形公式可得：%f\n",Trapz(0,1,8));
    printf("使用复化辛普森公式可得：%f\n",MulripleSimpson(0,1,4));
}

运行结果如下图：





结果分析：

比较复化梯形公式和复化辛普森公式两种方法的运行结果，我们发现复化辛普森公式与准确值0.9460831更加接近，复化梯形公式只有2位有效数字，而复化辛普森公式有6为有效数字。

原文：/article/1509036.html

作者：nineheadedbird