直线分割平面问题

看了一下具体数学的1.2章，整理了一下关于一个平面被分割的部分多少的问题

先考虑第一个小问题：

一个平面能被n条直线最多分成多少个部分？

假设用L来表示答案，那么有



最优的分法可以考虑是：

1. 没有两条直线互相平行

2. 没有三线共点

也就是说，如果现在有一个n条线的最优情况，我要新加第n+1条线，让他顺次穿过前n条线，即穿过了n+1个部分，即增加了n+1个部分（穿过了一个部分就可以把这个部分分成两半）

所以，初始情况

，然后有


一个式子有两种长相，一种是递推式，一种是闭形式（不一定存在哟，有的也可能很复杂很复杂，例：斐波那契数列），闭形式说白了就是要求F(n)然后把n套进去就能得出函数的值，递推式就是要求F(n)就需要知道F(k) (k<n) 的值，这里可能需要一个k或者若干个k，或者更丧心病狂的可能需要知道F(0)到F(n-1)之间的所有值(Catalan数的最显而易见的那个递推式就是这样)

所以上头的是递推式

闭形式好搞，

继续往后拆呗









。。。。




发现L0=1诶，而后面则是一个1到n的和。

小高斯告诉我们，



因此，

如果用V字型的折线分割平面

假设用V表示最多分割的平面数量，则有



可以把V的两条射线反向延长，得到的就是2条交叉的线，如果我们就这样放着的话，相当于



但是，因为是V型的，所以两条反向延长线去掉之后，都会把三个部分合成一个部分，所以，对于每一个V，反向延长线去掉之后，平面分割的部分数目就要减去2，而总共有n个V型的线，所以

要在

的基础上减去2n

综上



也就是

Z字型的线分割平面的问题

对于一个Z，先当作三条线相交，但是很不幸，有一对平行线，所以分割的平面少了1，然后还有两个反向延长线需要去掉，分隔平面少了4，所以一条Z相比L3少了5个平面，因此：









上次有人问我一个问题，

如果是M字形的线分割平面结果呢（M的两个脚也是平行的）？

三对线没有交叉，因此少了3，三个角的反向延长线去掉了，又少了6。









推广一下，

如果F(n,m)表示n个折了m次的线最多能把平面分成的部分数，那么F(n,m)为多少呢？（例如M型的就是折了三次，有三个角，其中第一段和最后一段平行，其他段互不共线）

首先，折了m次的线就是由m+1条直线组成，因此就会有



对线，其中m对线有交点，因此不相交的直线数目有


，

然后由于有m个角，每个角损失了2个部分，因此损失2m个部分。

综上