实现堆排序

实现堆排序

1. 堆排序的思想

堆是一棵完全二叉树，任何一个节点的val不大于（最小堆）或者不小于（最大堆）其左右孩子节点的关键字。

以最大堆为例，堆排序的基本思想是：

1)将初始待排序关键字序列(R1,R2....Rn)构建成大顶堆，此堆为初始的无序区；

2)将堆顶元素R[1]与最后一个元素R
交换，此时得到新的无序区(R1,R2,......Rn-1)和新的有序区(Rn),且满足R[1,2...n-1]<=R
;

3)由于交换后新的堆顶R[1]可能违反堆的性质，因此需要对当前无序区(R1,R2,......Rn-1)调整为新堆，然后再次将R[1]与无序区最后一个元素交换，得到新的无序区(R1,R2....Rn-2)和新的有序区(Rn-1,Rn)。不断重复此过程直到有序区的元素个数为n-1，则整个排序过程完成。

其实，堆排序最重要的两部分就是：初始化堆和调整堆。

我们可以用下图展示堆排序的过程：

给定一个整形数组a[]={16,7,3,20,17,8}，对其进行堆排序。

1） 构建最大堆；


这一步骤只需要构建一个完全二叉树即可；

2）初始化最大堆；





这一步骤需要不断调整，使得堆成为最大堆。

调整从最后一个非叶子节点开始。每次调整都是从父节点、左孩子节点、右孩子节点三者中选择最大者跟父节点进行交换(交换之后可能造成被交换的孩子节点不满足堆的性质，因此每次交换之后要重新对被交换的孩子节点进行调整)。

3）排序，继续调整最大堆；

堆顶20和3交换：






堆顶17和3交换：


堆顶16和3交换：




堆顶8（7）和3交换：


总的来说，堆排序就是一个不断调整堆的过程。

堆排序其实也是一种选择排序，是一种树形选择排序。只不过直接选择排序中，为了从R[1...n]中选择最大记录，需比较n-1次，然后从R[1...n-2]中选择最大记录需比较n-2次。事实上这n-2次比较中有很多已经在前面的n-1次比较中已经做过，而树形选择排序恰好利用树形的特点保存了部分前面的比较结果，因此可以减少比较次数。对于n个关键字序列，最坏情况下每个节点需比较log2(n)次，因此其最坏情况下时间复杂度为nlogn。

堆排序为不稳定排序，不适合记录较少的排序。

2. 编程实现堆排序

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

// 调整堆函数
void HeapAdjust(int *a, int i, int size)  // a：数组；i：节点index；size：树的规模
{
int lchild = 2 * i;   // 节点的左孩子编号
int rchild = 2 * i + 1;   // 节点的右孩子编号
int max = i;  //节点编号备份
if(i <= size/2 - 1)
{
if(lchild <= size && a[lchild] > a[max])  // 左孩子比节点值要大
max = lchild;
if(rchild <= size && a[rchild] > a[max])  // 右孩子比节点值要大
max = rchild;
if(max != i)  // 如果上面发生了交换，也就是如果上面有if成立了
{
swap(a[i], a[max]);   // 首先要交换二者的真实值，因为上面只是index的交换
HeapAdjust(a, max, size);  // 其次，需要判断交换之后还需要重新调整吗
}
}
}

//建立堆函数
void BuildHeap(int *a, int size)
{
int i;
for(i = size/2 - 1; i >= 0; i--)  // 非叶子节点最大序号值为size/2，需要遍历所有的节点
{
HeapAdjust(a, i, size);   // 调整
}
}

// 堆排序函数
void HeapSort(int *a, int size)
{
int i;
BuildHeap(a, size);
for(i = size; i >= 0; i--)
{
swap(a[0], a[i]);  //  交换堆顶和最后一个元素，每次将剩余元素中的最大者放到最后面
HeapAdjust(a, 0, i-1);  // 重新调整堆顶节点成为大顶堆，这个时候就要除出最后一个元素，范围是1~n-1
}
}

int main()
{
int a[] = {100, 16, 20, 3, 11, 17, 8};
int size = 7;
HeapSort(a, size);
for(int i = 0; i < size; i++)
{
cout<<a[i]<<endl;
}
cout<<endl;

return 0;
}

参考链接：
http://www.cnblogs.com/dolphin0520/archive/2011/10/06/2199741.html