float型数在计算机中的表示

转：在本科学习《计算机组成原理》这门课的时候曾经详细学习了浮点数在机器中的表示方法，昨天做题时再次偶然遇到浮点数的问题，参考了很多资料总算是对这个问题有了比较全面的认识，总结一下以备查阅。
我们以一个简单的例子开始对该问题的讨论。
#include
​ int main(void){
float x,y;
x = 111111.111;
y = 222222.222;
printf("%f\n",x + y);
return 0;
​ }
输出结果不是:333333.333，而是:333333.328125，这是什么原因呢？
首先​我们先复习一下关于机器中浮点数表示的基本知识点，然后对该问题进行具体的分析和讨论。
1. 按照IEEE 754的标准，32位浮点数和64位浮点数的标准格式如下所示：
31 |30 23| 22 0
32位浮点数: S（符号位） E（阶码） M（尾数）
63 |62 52 |51 0
64位浮点数: S（符号位） E（阶码） M（尾数）
不论是32位浮点数还是64位浮点数，规定基数R = 2。由于基数2是固定常数，不必用显式方式来表示它。
我们可以看到，在32位浮点数中，S是浮点数的符号位，占1位，安排在最高位，S=0表示正数，S=1表示负数。M是尾数，放在低位部分，占用23位，用小数表示，小数点放在尾数的最前面。E是阶码，占用8位，阶符采用隐含方式，即采用移码方法来表示正负指数。采用指数的实际值加上固定的偏移值的办法来表示浮点数的指数，好处是可以用长度为n个比特的无符号整数来表示所有的指数取值，这使得两个浮点数的指数大小的比较更为容易。
指数偏移值(exponent bias)，是指浮点数表示法中的指数域的阶码值E为指数真值e加上某个固定的值，IEEE 754标准中规定该固定值为​2^(n-1) - 1，其中n为存储指数的比特的长度。
以单精度浮点数(32位)为例，它的指数域有8个比特，固定偏移值是2^(8-1) - 1 = 127.考虑到8比特的无符号整数的范围为:00000000——11111111（即0——255）,因为0和255是特殊值，所以阶码的范围为:1——254，那么单精度浮点数的指数部分的真值范围为:-126——127（1
- 127~254 - 127）.
采用这种方式时，将单精度浮点数的指数真值e变为阶码E时，应将指数e加上一个固定的偏移值127(01111111),即E = e + 127。
一个规格化的32位浮点数x的真值可以表示为
x = (-1)^S * (1.M)*2^(E- 127) e = E - 127
其中尾数域所表示的值是1.M。因为规格化的浮点数的尾数域最左位（最高有效位）总是1，故这一位经常不予存储，而认为隐藏在小数点的左边。
64位的浮点数中符号位1位，阶码域11位，尾数域52位，指数偏移值是1023(2^(11-1) - 1).因此规格化的64位浮点数x的真值为
x = (-1)^S * (1.M) * 2^(E-1023) e = E -1023
为了提高数据的表示精度，当尾数的值不为0时，其绝对值应>= 0.5，即尾数域的最高有效位应为1，否则要采用修改阶码同时左右移动小数点的办法，使其变成这一要求的表示形式，这成为浮点数的规格化表示。
以上就是关于浮点数表示的基本知识。​
2.按照上述基本理论可得x和y的二进制形式分别如下:
x: 0,10001111,10110010000001110001110
y: 0,10010000,10110010000001110001110
最左边的位是符号位，接下来的8位是阶码位(下面用E表示)，表示2的(E-127)次方，最右边的23位是尾数位(下面用M表示)，表示尾数1.M.
这里主要按照浮点数的表示方法对x进行详细的计算，y的计算过程类同:
x的阶码:E = 10001111，转换成10进制则为:143，再减去127，结果为16（二进制形式为:10000）。
x的尾数部分:M = 1.10110010000001110001110，于是这个二进制的科学计数法则为:
​1.10110010000001110001110 x 2^16 (a)
于是上式(a)变为:11011001000000111.0001110
按照二进制转换为十进制的步骤，这个二进制数“精确地”转换为十进制数的结果为:111111.109375
同理，y的二进制形式为:110110010000001110.001110，精确地转换为十进制的结果为:222222.21875
所以程序的结果就很明显了。加起来之后（没有溢出，而且这个例子float没有精度损失），所以结果就是:333333.328125（精确），而非333333.333了。
参考:计算机组成原理（第三版.网络版） 白中英主编 Page 20-21
http://tieba.baidu.com/f?kz=847907586
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/IEEE_754

/article/7150941.html

http://msdn.microsoft.com/zh-cn/0b34tf65​
​http://blog.sina.com.cn/s/blog_5fb3f1250100xodv.html

​
文章出处：http://blog.sina.com.cn/u/2728844600

作者：天涯来客；