hdu acm steps Big Event in HDU

上网搜了一下这道题的解法，主要有两个方法，一种是采用母函数的方法，一种是采用0/1背包的方法。

先说一下母函数，即生成函数，做个比喻，母函数就是一个多项式前面的系数的一个整体的集合，而子函数就是这个多项式每一项前面的系数。主要用于解决组合问题，类似于钱币的组合问题。利用母函数解题时，首先要写出表达式，通常是多项式的乘积形式，类似于：(x^(v[K]*n1[K])+x^(v[K]*(n1[K]+1))+x^(v[K]*(n1[K]+2))+...+x^(v[K]*n2[K]))。

例如，对于有n种物品，如果第i种物品有ki个，我们可以列式n个项相乘 (x^0+x^1+...x^k1)*(x^0+x^1+...x^k2)*...*(x^0+x^1+...x^kn)，每一项表示对于第i件物品，可以有(x^0+x^1+...x^ki)中取法，【注意系数都为1，因为同种物品取i件，它的取法是1】多项相乘：因为取m件物品这件事实要分为对n种物品各取分别取1次【0~ki个】， 是组合计数的乘法原理， x^m 的系数是组合成m件物品的所有方案数

一、母函数解题的核心就是要找到：

k（对应具体问题中物品的种类数）、

v[i]（表示该乘积表达式第i个因子的权重，对应于具体问题的每个物品的价值或者权重）、

n1[i]（表示该乘积表达式第i个因子的起始系数，对应于具体问题中的每个物品的最少个数，即最少要取多少个）、

n2[i]（表示该乘积表达式第i个因子的终止系数，对应于具体问题中的每个物品的最多个数，即最多要取多少个）。

之后迭代计算，并将结果放在一个数组a中。其中a[i]表示权重为i的组合数。

二、母函数对应的具体题型：

主要是普通型母函数，主要用在组合和整数拆分问题上。

关于母函数的百度百科：http://baike.baidu.com/view/2415279.htm

三、模板

先贴一下我收集到的母函数模板：

模板一

//a为计算结果，b为中间结果。
int a[MAX],b[MAX];
//初始化a
memset(a,0,sizeof(a));
a[0]=1;
for (int i=1;i<=17;i++)//循环每个因子
{
memset(b,0,sizeof(b));
for (int j=n1[i];j<=n2[i]&&j*v[i]<=P;j++)//循环每个因子的每一项  ，p为可能的最大指数
for (int k=0;k+j*v[i]<=P;k++)//循环a的每个项
b[k+j*v[i]]+=a[k];//把结果加到对应位
memcpy(a,b,sizeof(b));//b赋值给a
}

有一个last变量记录当前的最大指数，可以提高程序的效率：

模板二：

//初始化a，因为有last，所以这里无需初始化其他位
a[0]=1;
int last=0;
for (int i=0;i<K;i++)
{
int last2=min(last+n[i]*v[i],P);//计算下一次的last
memset(b,0,sizeof(int)*(last2+1));//只清空b[0..last2]
for (int j=n1[i];j<=n2[i]&&j*v[i]<=last2;j++)//这里是last2
for (int k=0;k<=last&&k+j*v[i]<=last2;k++)//这里一个是last，一个是last2
b[k+j*v[i]]+=a[k];
memcpy(a,b,sizeof(int)*(last2+1));//b赋值给a，只赋值0..last2
last=last2;//更新last
}

因为刚刚接触到acm，最近做的事简单的背包专题，所以此处仅附上背包的思路和解法：

思路：将背包的容量定为所有物品总价值的一半，然后就是0/1背包问题，dp[half]中存储的就是较小的半份。其中，dp[j]表示选前i间物品时，预算为j时背包中装的最大总价值。

状态转移方程为：dp[j]=max{dp[j],dp[j-f[i].v]+f[i].v};

#include"iostream"
#include"stdio.h"
#include"algorithm"
#include"string.h"
#include"cmath"
#define mx 105
using namespace std;
int dp[300000];//注意dp数组的大小
struct node
{
int v;
int c;
}f[mx];
bool cmp(const node a,const node b)
{
if(a.v!=b.v) return a.v<b.v;
}
int main()
{
int n,i,j,k;
while(cin>>n,n>0)
{
int sum=0,half;
for(i=0;i<n;i++)
{
cin>>f[i].v>>f[i].c;
sum+=f[i].v*f[i].c;
}
half=sum/2;
sort(f,f+n,cmp);
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(i=0;i<n;i++)
{
for(k=1;k<=f[i].c;k++)
{
for(j=half;j>=f[i].v;j--)
{
if(dp[j]<dp[j-f[i].v]+f[i].v) dp[j]=dp[j-f[i].v]+f[i].v;
}
}
}
cout<<sum-dp[half]<<' '<<dp[half]<<endl;
}
return 0;
}

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