线性代数笔记(线性方程组、线性空间,线性变换)
2015-01-25 10:58
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1) 系数矩阵,未知向量,右端常量;
2)方程组相容:方程组有解;
3)奇次线性方程,平凡解,非平凡解;
4)n元奇次线性方程组有非零解的充要条件为A的秩小于n;
5)基础解系;基础解系中的所含解向量个数=自由未知量个数=未知量个数-系数矩阵的秩(基本未知量)。其矩阵消元法实现可参考MyMathLib系列.
6)奇次线性方程组,当秩A=s<n时一定有基础解系;且基础解系中含n-s个解向量;
7)非奇次线性方程,增广矩阵,有解充分必要条件(秩A=秩(A:B)) 算法参见MyMathLib.
8)非奇次线性方程的特解,一般解,特解为0就是奇次方程的解;
9)线性空间:V是非空集合,为数域K上的向量组集合;对V内的元素定义加法和数乘运算,如果V对这两种运算封闭,且具有八条基本性质:
A+B=B+A;(A+B)+C=A+(B+C);A+0=A;A+(-A)=0;k(A+B)=kA+kB;(k+l)A=kA+lA;(kl)A=k(lA);1A=A;.
10)实线性空间,复线性空间;
11)基底,或基,坐标向量,自然基底,维数,n维线性空间;
12)坐标变换公式,过渡矩阵P:Y=P^-1 X或X=PY;
13)线性变换:变换T如果满足:T(A+B)=TA+TB,T(kA)=kT(A),则称为线性变换.
14)数乘变换,恒等变换,零变换.满秩线性变换,正交变换。线性相关的向量组经过线性变换仍是线性相关的向量组;
15)如果T(ε1,ε2...,εn)=(Tε1,Tε2,..,Tεn)=(ε1.ε2..εn)A,则称A为T在此基底下的矩阵(坐标矩阵)。求坐标矩阵的算法可参见MyMathLib.
16)T在两个基底下的矩阵分别为A,B,两个基底间的过渡矩阵为P则有(P^-1)AP=B.
17)矩阵的相似:如果存在可逆矩阵P使得:(P-1)AP=B,则A~B. 反身性,对称性,传递性.
18)相似矩阵可以看作是同一线性变换在不同基底下的矩阵
2)方程组相容:方程组有解;
3)奇次线性方程,平凡解,非平凡解;
4)n元奇次线性方程组有非零解的充要条件为A的秩小于n;
5)基础解系;基础解系中的所含解向量个数=自由未知量个数=未知量个数-系数矩阵的秩(基本未知量)。其矩阵消元法实现可参考MyMathLib系列.
6)奇次线性方程组,当秩A=s<n时一定有基础解系;且基础解系中含n-s个解向量;
7)非奇次线性方程,增广矩阵,有解充分必要条件(秩A=秩(A:B)) 算法参见MyMathLib.
8)非奇次线性方程的特解,一般解,特解为0就是奇次方程的解;
9)线性空间:V是非空集合,为数域K上的向量组集合;对V内的元素定义加法和数乘运算,如果V对这两种运算封闭,且具有八条基本性质:
A+B=B+A;(A+B)+C=A+(B+C);A+0=A;A+(-A)=0;k(A+B)=kA+kB;(k+l)A=kA+lA;(kl)A=k(lA);1A=A;.
10)实线性空间,复线性空间;
11)基底,或基,坐标向量,自然基底,维数,n维线性空间;
12)坐标变换公式,过渡矩阵P:Y=P^-1 X或X=PY;
13)线性变换:变换T如果满足:T(A+B)=TA+TB,T(kA)=kT(A),则称为线性变换.
14)数乘变换,恒等变换,零变换.满秩线性变换,正交变换。线性相关的向量组经过线性变换仍是线性相关的向量组;
15)如果T(ε1,ε2...,εn)=(Tε1,Tε2,..,Tεn)=(ε1.ε2..εn)A,则称A为T在此基底下的矩阵(坐标矩阵)。求坐标矩阵的算法可参见MyMathLib.
16)T在两个基底下的矩阵分别为A,B,两个基底间的过渡矩阵为P则有(P^-1)AP=B.
17)矩阵的相似:如果存在可逆矩阵P使得:(P-1)AP=B,则A~B. 反身性,对称性,传递性.
18)相似矩阵可以看作是同一线性变换在不同基底下的矩阵
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