动态规划--01背包问题

01背包问题具体例子：假设现有容量10kg的背包，另外有3个物品，分别为a1，a2，a3。物品a1重量为3kg，价值为4；物品a2重量为4kg，价值为5；物品a3重量为5kg，价值为6。将哪些物品放入背包可使得背包中的总价值最大？
　　这个问题有两种解法，动态规划和贪婪算法。本文仅涉及动态规划。

　　先不套用动态规划的具体定义，试着想，碰见这种题目，怎么解决?

　　首先想到的，一般是穷举法，一个一个地试，对于数目小的例子适用，如果容量增大，物品增多，这种方法就无用武之地了。

　　其次，可以先把价值最大的物体放入，这已经是贪婪算法的雏形了。如果不添加某些特定条件，结果未必可行。

　　最后，就是动态规划的思路了。先将原始问题一般化，欲求背包能够获得的总价值，即欲求前i个物体放入容量为m（kg）背包的最大价值c[i][m]——使用一个数组来存储最大价值，当m取10，i取3时，即原始问题了。而前i个物体放入容量为m（kg）的背包，又可以转化成前(i-1)个物体放入背包的问题。下面使用数学表达式描述它们两者之间的具体关系。

　　表达式中各个符号的具体含义。

　　w[i] :  第i个物体的重量；

　　p[i] : 第i个物体的价值；

　　c[i][m] ： 前i个物体放入容量为m的背包的最大价值；

　　c[i-1][m] ： 前i-1个物体放入容量为m的背包的最大价值；

　　c[i-1][m-w[i]] ： 前i-1个物体放入容量为m-w[i]的背包的最大价值；

　　由此可得：

　　　　　　c[i][m]=max{c[i-1][m-w[i]]+pi , c[i-1][m]}（下图将给出更具体的解释）



       根据上式，对物体个数及背包重量进行递推，列出一个表格（见下表） ，当逐步推出表中每个值的大小，那个最大价值就求出来了。推导过程中，注意一点，最好逐行而非逐列开始推导，先从编号为1的那一行，推出所有c[1][m]的值，再推编号为2的那行c[2][m]的大小。这样便于理解



c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.

      这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背包容量为4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最价方案c为4.而背包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量5.背包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排 c3的最佳方案是4.所以。总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.)

       所以在生成矩阵C之后，由C可求出最佳方案所对应的加入的物体组合，由最后一行最后一列往左往上探查，起始j=10，当C[i][j]>C[i-1][j]说明ai物体放入了背包，则将背包中ai物体重量减去，j-w[i]并往上探查（i--）如图：



上图中C指的是包的最大容量10，由图可知，容量10kg的背包，另外有3个物品，分别为a1，a2，a3。物品a1重量为3kg，价值为4；物品a2重量为4kg，价值为5；物品a3重量为5kg，价值为6。将a2，a3放入背包可使得背包中的总价值最大为11.

下面列出具体C++代码(为了编写方便，加入物体a0,重量为0，价值为0，无实际意义)：

head.h

#include <iostream>
using namespace std;

#define N 3  //物体数量
#define  C 10//背包容量
void knap(int W[N+1],int P[N+1],int CC[N+1][C+1]);

 

main.cpp

#include "head.h"
void main()
{
int W[N+1]={0,3,4,5};//物品的重量
int P[N+1]={0,4,5,6};//物品的价值
int X[N+1]={0};//物品的选取状态
int CC[N+1][C+1];// CC[i][j]装入i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值
knap(W,P,CC);
for (int i=0;i<N+1;i++)
{
for (int j=0;j<C+1;j++)
{
cout<<CC[i][j]<<"  ";
}
cout<<endl;
}
/*
从CC二维数组底部网上寻找使得背包获得的最大价值的物品
*/
int j=C;
for (int i=N;i>0;i--)
{
if (CC[i][j]>CC[i-1][j])
{
X[i]=1;
j=j-W[i];
}
}
cout<<"选中的物品是"<<endl;
for (int i=1;i<=N;i++)
{
if (X[i]==1)
{
cout<<i<<"  ";
}
}
cout<<endl;
}

void knap(int W[N+1],int P[N+1],int CC[N+1][C+1])
{
for (int i=0;i<=N;i++)
{
CC[i][0]=0;
}
for (int i=0;i<=C;i++)
{
CC[0][i]=0;
}
for (int i=1;i<=N;i++)
{
for (int j=1;j<=C;j++)
{
if (j<W[i])
{
CC[i][j]=CC[i-1][j];
continue;
}
else if ((CC[i-1][j-W[i]]+P[i])>CC[i-1][j])
{
CC[i][j]=CC[i-1][j-W[i]]+P[i];
}
else
CC[i][j]=CC[i-1][j];
}
}
}

 

结果为：