用一张日落照片估算出地球的半径
2015-01-19 22:33
176 查看
Matrix67: The Aha Moments
这是一篇旧文,点击此处以旧主题模式浏览。用一张日落照片估算出地球的半径
你相信吗,仅仅利用一张日落的照片,你就能得出地球的半径大小! Princeton 大学的 Robert Vanderbei 在最近的一篇论文中对一张摄于密歇根湖的日落照片进行了分析,不但证实了地球是圆的,还依据照片上的内容对地球半径进行了估算。我把计算的大致过程向大家描述一下,供大家膜拜。事情的起因就是上面这张很平常的日落照片,以及这样一个大家平时并没有太在意的问题:太阳露出水面的部分应该是一个标准的弓形,但为什么在日出日落时,我们所看到的太阳是一个橄榄球一样的形状?大家或许会很快想到,发光体的下半部分其实是日光反射在水面上造成的。随之产生的是另一个问题:为什么它的下半部分要比上半部分小一些呢?
这是因为——想到这个问题的答案并不容易——地球是圆的。上图就是人站在地球上看日出的一个比例夸张版示意图,其中 O 为地球的中心, A 为人眼的位置, AB 为视平线, B 点为水天交界处。由于太阳距离我们相当遥远,因此我们把太阳光看作是一束理想的平行光线。我们把直接射入人眼的太阳光与 AB 的夹角记为 α ,把经过水面上的一点 C 反射进入人眼的光线与 AB 的夹角记为 β 。从图上可见,视角 β 比 α 小,也就是说太阳在水面上的镜像比本身要小一些。
β 究竟比 α 小多少呢?对照片进行精确地测量,可知太阳的直径相当于照片中的 317 个像素,而露出水面的部分高 69 像素,水中的倒影则只有 29 像素。众所周知太阳的视直径(看太阳的视角)为 0.5 度,因此我们就得到 α = 0.5 * 69 / 317 ≈ 0.1088 度, β = 0.5 * 29 / 317 ≈ 0.0457 度。
如果再已知人眼(或者说相机)离水面的垂直距离 h 为 2 米,那么根据这些数据我们就足以估算出地球的半径了。不妨把 ∠AOB 记为 φ ,把 ∠AOC 记为 θ ,把人眼到水天相接处的距离 AB 记为 D ,把人眼到反射点的距离 AC 记为 d ,入射角和反射角记为 γ ,最后用 r 来表示地球半径,那么此时我们一共有 6 个未知量。为了求解出这 6 个未知数,我们需要寻找 6 个不同的方程。这 6 个方程可以由以下 6 组等量关系得到:
1. 四边形 OBAC 的内角和为 360° ,即 (φ – θ) + 90° + β + (180° – γ + 90°) = 360° , 化简得 方程(1) φ + β = θ + γ
2. 两条平行线的同旁内角相加为 180° ,即 (α + β) + (180° – 2γ) = 180° ,即 方程(2) α + β = 2γ
3. 由于 AO = h + r ,同时又有 AO = AD + DO = D·sinφ + r·cosφ ,因此有 方程(3) h + r = D·sinφ + r·cosφ
4. BD 既可以等于 D·cosφ ,又可以等于 r·sinφ ,于是有 方程(4) D·cosφ = r·sinφ
5. 由于 AO = h + r ,同时又有 AO = AE + EO = d·sin(γ+θ) + r·cosθ ,因此有 方程(5) h + r = d·sin(γ+θ) + r·cosθ
6. CE 既可以等于 d·cos(γ+θ) ,又可以等于 r·sinθ ,于是有 方程(6) d·cos(γ+θ) = r·sinθ
一系列复杂的代数运算(省略数百字)最终告诉我们:
r = h / (√1 – 2·cosβ·cosγ + cos2γ /
sinβ – 1)
其中 γ = (α + β)/2 。代入已知的 α 、 β 和 h 可以得到,地球半径 r 大约为 7.29312 * 106 米,也即 7293 千米。
这个估算的误差有多大呢?事实上,地球的半径大约为 6300 多千米,可见误差不是一般的大。不过,考虑到我们估算的依据仅仅是一张照片,能把数量级估对就已经相当牛 B 了。除了测量的精度之外,还有很多潜在的因素会导致误差。目前看来,误差的最主要来源似乎是不完全平静的水面——一点小小的波浪就会给 α 、 β 的值带来巨大的影响。
相关文章推荐
- 用一张日落照片估算出地球的半径
- 用一张日落照片估算出地球的半径
- 用一张日落照片估算出地球的半径
- python从Mjpg-streamer中取出一张jpg照片
- MUI - 图片压缩上传demo,可以选择一张或多张图片也可以拍摄照片
- 50张美轮美奂的地球风景照片欣赏(上篇)
- 魔兽争霸拼图照片一张
- 一张世界上智慧最集中的照片
- Python爬虫实例(1)-爬取一张猫的照片
- 美国观察:这就是民主?拍一张公司门口的抗议照片
- 关于马云最帅的照片是哪一张?!你们感受下!哈哈哈哈!(10P)
- 一张纸折51次,有多高?一个冰箱?一层楼?或者一栋摩天大厦?NO,你错了.这个厚度超过了地球和太阳之间的距离。
- 调出夕阳日落照片效果
- 发一张你认为很漂亮的美女照片?
- Android使用XUtils框架上传照片(一张或多张)和文本,服务器接收照片和文字(无乱码)
- 大数据早报:AI仅用一张照片就能完成3D面部建模 2017姻缘大数据报告出炉(9.20)
- PHP将身份证正反面两张照片合成一张图片的代码
- [摄影] 如何拍摄一张幻境般的星轨照片
- Android使用XUtils框架上传照片(一张或多张)和文本,服务器使用struts2接收