线性代数复习1. 视角

1. 我们看矩阵的方式:

1.1 矩阵是“变换”，或者是“坐标系”
简单来讲，一个A左乘一个矩阵X相当于在X身上施加行变换，A右乘一个矩阵X（XA）相当于对X施加列变换。”坐标系“的含义是Ax = b, 其中A为矩阵， x, b为向量，这个算式当然可以理解为A对x进行行变换，但是也可以理解为，在坐标系A的衡量下，一个神奇的东西的坐标为x，在I（单位矩阵）的衡量下，这个神奇的东西的坐标为b。具体的阐述见：孟岩Blog,理解矩阵（一）（二）（三）。
1.2 矩阵与向量乘（Ax = b)
Gilbert 讲了两种，row picture & column picture.
 
视角1：row picture
这种视角写出来就是方程的形式



图1：row picture
每一个方程就是一个平面，联立这些方程的意思就是求这些平面的交点。
 
视角2：column picture （b是A中各个列的线性组合）
这种视角应该是更常用的一种。



图2：column picture

1.3 矩阵和矩阵乘 （AB = C）
我们知道C中的C(i,j) = A(i, :) * B(:, j)，这是我们通常的视角。还有其他的更有助于我们理解矩阵的视角吗？
 
视角1：C是A中各个列的线性组合（对A做列变换）
换句话说就是A去乘以B中的每一列，从而得到C中的每一列（这也印证了C的列数是如何得到的，当然还有行数）。



图3：视角1（看一眼 Ax = b column picture， aha！）
 
视角2：C是B中各个行的线性组合（对B做行变换）
换句话说，B去乘A中的每一行，从而得到C中的每一行，如图4。



图4：视角2
 
视角3：C是A中i列和i行相乘以后得到的矩阵的和，如图5。
注意是 i 和 i，不是i,j之类的。大家可以把Gilbert的例子写一下，用不同的视角，熟练了才能真正运用视角。注意到下图左面的列向量乘以行向量，无论从行变换或列变换的角度来看，得到的结果的向量空间都是指向同一个方向的。



图5：视角3
 
视角4：分块，这块就不多说了。但是不是怎么显而易见的。
 
2. 感悟
以后写。。。