算法导论第9章 中位数和顺序统计学

摘要：

　　本章所讨论的问题是在一个由n个不同数值构成的集合中选择第i个顺序统计量问题。主要讲的内容是如何在线性时间内O(n)时间内在集合S中选择第i小的元素，最基本的是选择集合的最大值和最小值。一般情况下选择的元素是随机的，最大值和最小值是特殊情况，书中重点介绍了如何采用分治算法来实现选择第i小的元素，并借助中位数进行优化处理，保证最坏保证运行时间是线性的O(n)。

1、基本概念

　　顺序统计量：在一个由n个元素组成的集合中，第i个顺序统计量是值该集合中第i小的元素。例如最小值是第1个顺序统计量，最大值是第n个顺序统计量。

中位数：一般来说，中位数是指它所在集合的“中间元素”，当n为奇数时，中位数是唯一的，出现位置为n/2；当n为偶数时候，存在两个中位数，位置分别为n/2（上中位数）和n/2+1（下中位数）。

2、选择问题描述

　　输入：一个包含n个（不同的）数的集合A和一个数i，1≤i≤n。

输出：元素x∈A，它恰大于A中其他的i-1个元素。

最直接的办法就是采用一种排序算法先对集合A进行排序，然后输出第i个元素即可。可以采用前面讲到的归并排序、堆排序和快速排序，运行时间为O(nlgn)。接下来书中由浅入深的讲如何在线性时间内解决这个问题。

3、最大值和最小值

　　要在集合中选择最大值和最小值，可以通过两两元素比较，并记录最大值和最小值，n元素的集合需要比较n-1次，这样运行时间为O(n)。举个例子来说明，现在要求和集合A={32,12,23,67,45,78}的最大值，开始假设第一个元素最大，即max=1，然后从第二个元素开始向后比较，记录最大值的位置。执行过程如下图所示：



书中给出的求最小值的伪代码如下：

1 MINMUN(A)
2    min = A[1]
3    for i=1 to length(A)
4       do if min > A[i]
5                then  min >= A[i]
6   return min

问题：

（1）同时找出集合的最大值和最小值

方法1：按照上面讲到的方法，分别独立的找出集合的最大值和最小值，各用n-1次比较，共有2n-2次比较。

方法2：可否将最大值和最小值结合在一起寻找呢？答案是可以的，在两两比较过程中同时记录最大值和最小值，这样最大需要3n/2次比较。现在的做法不是将每一个　　　　　　输入元素与当前的最大值和最小值进行比较，而是成对的处理元素，先将一对输入元素进行比较，然后把较大者与当前最大值比较，较小者与当前最小者比较，因此每两个元素需要3次比较。初始设置最大值和最小值方法：如何n为奇数，就将最大值和最小值都设置为第一个元素的值，然后成对的处理后续的元素。如果n为偶数，那么先比较前面两个元素的值，较大的设置为最大值，较小的设置为最小值，然后成对处理后续的元素。这样做的目的保证能够成对的处理后续的元素。举个例子说明这个过程，假设现在要找出集合A={32,23,12,67,45,78,10,39,9,58}最大值和最小值，执行过程如下：


从图中可以看出方法2要比方法一要好，减少了元素之间的比较次数。现在用C语言实现方法2，程序如下：


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程序测试结果如下：



（2）如何找出找出n个元素中的第2小元素。

解答：类似与上面的同时找出最大值和最小值的方法2，变成同时找最小值和第2小元素值。先初始化最小值和第2小的值，然后成对比较后续的元素，找出较小的元素与当前最小值和第二小值进行比较，在三者中找出最小值和第二小值。

4、以期望线性时间做选择

　　一般的选择问题似乎要比选择最大值和最小值要难，但是这两种问题的运行时间是相同的，都是θ(n)。书中介绍了采用分治算法解决一般的选择问题，其过程与快速排序过程中划分类似。每次划分集合可以确定一个元素的最终位置，根据这个位置可以判断是否是我们要求的第i小的元素。如果不是，那么我们只关心划分产出两个子部分中的其中一个，根据i的值来判断是前一个还是后一个，然后接着对子数组进行划分，重复此过程，直到找到第i个小的元素。划分可以采用随机划分，这样能够保证期望时间是θ(n)（假设所有元素是不同的）。

　　给个例子说明此过程，假设现有集合A={32,23,12,67,45,78,10,39,9,58}，要求其第5小的元素，假设在划分过程中以总是以最后一个元素为主元素进行划分。执行过程如下图所示：



书中给出了返回A[p...r]中的第i小元素的伪代码：

1 RANDOMIZED_SELECT(A,p,r,i)
2       if p==r
3          then return A[p]
4       q = RANDOMIZED_PARTITION(A,p,r)
5       k = q-p+1;
6       if i==k
7          then return A[q]
8       else  if i<k
9           then return RANDOMIZED_SELECT(A,p,q-1,i)
10       else
11           return RANDOMIZED_SELECT(A,p,q-1,i-k)

RANDOMIZED_SELECT通过对输入数组的递归划分来找出所求元素，该算法要保证对数组的划分是个好划分才更加高效。RANDOMIZED_SELECT的最坏情况运行时间为θ(n^2)，即使是选择最小元素也是如此。因为在每次划分过程中，导致划分后两边不对称，总好是按照剩下元素中最大的划分进行。为了更好的选择过程，我采用C语言实现求集合A={32,23,12,67,45,78,10,39,9,58}的第i小的元素，完成程序如下：


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程序测试结果如下所示：



程序中要注意的细节问题是：C语言中数组的小标是从0开始的，而要求第i小元素中的i是从1开始的，即第1小的元素对应与最终的主元位置0，依次类推。

5、最坏情况线性时间的选择

　　SELECT算法的思想是要保证对数组的划分是个好的划分，对PARTITION过程进行了修改。现在通过SELECT算法来确定n个元素的输入数组中的第i小的元素，具体操作步骤如下：

（1）将输入数组的n个元素划分为n/5（上取整）组，每组5个元素，且至多只有一个组有剩下的n%5个元素组成。（为何是5，而不是其他数，有点不明白。）

（2）寻找每个组织中中位数。首先对每组中的元素（至多为5个）进行插入排序，然后从排序后的序列中选择出中位数。

（3）对第2步中找出的n/5（上取整）个中位数，递归调用SELECT以找出其中位数x。（如果是偶数去下中位数）

（4）调用PARTITION过程，按照中位数x对输入数组进行划分。确定中位数x的位置k。

（5）如果i=k，则返回x。否则，如果i<k，则在地区间递归调用SELECT以找出第i小的元素，若干i>k，则在高区找第(i-k)个最小元素。

SELECT算法通过中位数进行划分，可以保证每次划分是对称的，这样就能保证最坏情况下运行时间为θ(n)。举个例子说明此过程，求集合A={32,23,12,67,45,78,10,39,9,58,125,84}的第5小的元素，操作过程如下图所示：


现在采用C语言实现上面的例子，完整程序如下所示：


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程序测试结果如下所示：



总结

　　本章中的选择算法之所以具有线性运行时间，是因为这些算法没有进行排序，线性时间的行为并不是因为对输入做假设所得到的结果。