[LeetCode] Unique Binary Search Trees

Given n,
how many structurally unique BST's (binary
search trees) that store values 1...n?

For example,

Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

1         3     3      2      1
\       /     /      / \      \
3     2     1      1   3      2
/     /       \                 \
2     1         2                 3

https://oj.leetcode.com/problems/unique-binary-search-trees/
看很多人的解答直接利用Catalan Number的结论，写的推论也不是很清晰，所以我在这里补充一下为什么用Catalan Number的推理过程方便大家：

题目的条件是Given n，求unique BST树的个数。题目给的例子可以大概猜出是DP问题，那么可以如下分析：

对于Given n = 3的情况，那么可以将最终的解分解为的当根节点分别是1, 2, 3的情况；又由于题目问的是求unique BST，那么满足条件的BST应该满足中序遍历（in-order traverse）之后得出递增序列。

Given n = 3
Value = {1, 2, 3}
Let C(n) be numbers of Unique BST with given n.
Root:	  1                  2                  3
/ \                / \                / \
C(0) C(2)          C(1) C(1)          C(2) C(0)
C(3) = C(0)*C(2) + C(1)*C(1) + C(2)*C(0)

Similarly, given n = 4
Value = {1, 2, 3, 4}
Root:	  1                  2                  3                 4
/ \                / \                / \               / \
C(0) C(3)          C(1) C(2)          C(2) C(0)         C(3)  C(0)
C(4) = C(0)*C(3) + C(1)*C(2) + C(2)*C(1) + C(3)*C(0)

初始状态C(0) = 1；

那么这个问题就可以简化为维护一个长度为n的数组res[]，返回值是数组res[n-1]。

空间复杂度为O(n)，时间复杂度为O(n^2)

这道题还可以直接用卡塔兰数的定义来做，空间复杂度O(1)，时间复杂度O(n)