CF501D Misha and Permutations Summation(康托展开)

将一个排列映射到一个数的方法就叫做康托展开。它的具体做法是这样的，对于一个给定的排列｛ai｝（i=1,2,3...n），对于每个ai求有多少个aj,使得j>i且ai>aj，简单来说就是求ai后面有多少数比ai小，假设我们求出来了这样的排列的一个对应数组{bi},其中bi就是ai后面有多少个数比它小。那么这个排列对应的康托展开即为∑bi*(n-i)!.

ai={1 3 5 4 2}

bi={0 1 2 1 0} 对应的排列数 0*4!+1*3!+2*2!+1*1!+0*0!.

bi可以通过树状数组在O(nlogn)里得到。

至于逆康托展开，就是已知bi，反求出ai,即知道了{0 1 2 1 0}.

做法也是类似的，我们看第一个数是0，表示后面有0个比它小的数，那么它必然是1.然后看第二个数是1，表示这个数在除去1 后面有1个比它小的数，那么这个数就是3，然后2，表示这个数后面在除去1，3，之后有2个比它小的数，所以它是5，以此往下。

一个O(nlogn)的想法是这样的，建立一棵平衡树，把1～n都插进去，每次查找第（bi＋1）大的数，即为第i个数，然后把这个数删掉，以此往复。

但手写一个支持找第k大的平衡树比较慢，另外一个想法是在bit里把每个数都置1，然后二分出第一个使得前缀和为bi+1的数，这样做的复杂度就变成了O(nlog^2n).

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define maxn 210000

int bit[maxn];
int n;

void upd(int i)
{
while (i <= n){
bit[i] += 1;
i += i&(-i);
}
}

void dec(int i)
{
while (i <= n){
bit[i] -= 1;
i += i&(-i);
}
}

int cal(int i)
{
int ret = 0;
while (i > 0){
ret += bit[i];
i -= i&(-i);
}
return ret;
}

int solve(int x)
{
int l = 1, r = n+1;
while (l < r)
{
int mid = (l + r) >> 1;
int tx = cal(mid);
if (tx < x) l = mid + 1;
else r = mid;
}
return l;
}

int a[maxn];
int b[maxn];
int c[maxn];
int va[maxn];
int vb[maxn];
int vc[maxn];

int main()
{
while (cin >> n)
{
for (int i = 0; i < n; ++i){
scanf("%d", a + i); a[i]++;
}
for (int i = 0; i < n; ++i){
scanf("%d", b + i); b[i]++;
}
memset(bit, 0, sizeof(bit));
for (int i = n - 1; i >= 0; --i){
va[i] = cal(a[i]);
upd(a[i]);
}
memset(bit, 0, sizeof(bit));
for (int i = n - 1; i >= 0; --i){
vb[i] = cal(b[i]);
upd(b[i]);
}
reverse(va, va + n);
reverse(vb, vb + n);
memset(vc, 0, sizeof(vc));
int carry = 0;
for (int i = 1; i < n; ++i){
vc[i] = (carry + va[i] + vb[i]) % (i + 1);
carry = (carry + va[i] + vb[i]) / (i + 1);
}
reverse(vc, vc + n);
memset(bit, 0, sizeof(bit));
for (int i = 1; i <= n; ++i){
upd(i);
}
for (int i = 0; i < n; ++i){
c[i] = solve(vc[i]+1);
dec(c[i]);
}
for (int i = 0; i < n; ++i){
if (i) printf(" ");
printf("%d", c[i]-1);
}
puts("");
}
return 0;
}